Elementär dynamik fråga

Vi tar en enkel fråga:

"En bil startar från vila i origo, O och börjar röra sig längs en bana. Bilen har en konstant acceleration på 4 m/s^2 tills den passerar en punkt A där den har en fart på 10 m/s. I punkten A ändras accelerationen till 3m/s^2 under 6 s tills bilen kommer till en punkt B. Bestäm

a) bilens fart vid B.
b) avståndet OB."

Första uppgiften är enkel:
10 / 5 = 2.5s, eftersom v / a = (m/s)/(m/s^2) = (ms^2)/(ms) = s.

Andra uppgiften är trubbel:
Sambanden är ju linjära, och vi har hastighet och acceleration men vill ha sträcka, så:
a = v / t eftersom m/s^2 = (m/s) / s = m/s^2.
Eftersom vi vill ha sträckan måste vi byta ut antingen v eller t. Det visar sig enklare att byta ut t, så vi gör det:
a = v / (s/v) eftersom m/s^2 = (m/s)/(m/(m/s)) = (m/s)/(ms/m) = (m/s)/s = m/s^2.
Vi bryter ut sträckan:
=> a = v^2/s => as = v^2 => s = v^2/a.
Hastigheten i punkt A = 10 m/s och accelerationen = 4 m/s^2, så:
10^2/4 = 25 m för OA.

För sträckan AB räknar vi ut hastigheten i punkten B med v = a*t (ty m/s = m/s^2 * s):
v = 3 * 6 = 18 m/s.
Vi använder formeln s = v^2/a igen:
18^2/3 = 108 m

Och sträckan OB är = OA + AB = 25 + 108 = 133m, vilket inte stämmer eftersom svaret skall vara 126.5 m.
Varför fungerar inte detta? Varför fungerar inte mina härledningar trots att sambanden är linjära?

Dimensionsanalys är inte tillräckligt för att härleda en formel.

Definitionerna är v=a', s=v' (egentligen ska det vara prick ovanför eftersom de är tidsderivator).

Vill du bestämma v får du helt enkelt ställa upp integralen

v(t) = v(0) + \int_0^t a*dT = v(0) + at vid konstant acceleration.

Därför är svaret på a) v_B = v_A + at = 10 + 6*3 (m/s)

För att bestämma sträckan får man integrera en gång till:

s(t) = s(0) + \int_0^t v*dT = s(0) + \int_0^t (v(0)+aT)*dT = s(0) + v(0)t + at^2/2 vid konstant acceleration

Först bestämmer man tiderna med hastighetsformeln. Sen använder man sträckaformeln när man har hastigheterna och tiderna i alla punkter.

Dimensionsanalys är inte tillräckligt när sambandet inte är linjärt. Men sambandet är ju linjärt?

Jag håller inte med om något där (förutom att dimensionsanalys inte är tillräckligt då). Sträckan är uppenbart inte linjärt beroende av hastigheten (eller tiden) när du får en kvadratterm och dimensionsanalysen säger ingenting om vilka sträckor etc du beräknar.

Dina formler förutsätter att s(0) = 0 och v(0) = 0.

Att sitta och försöka fuska sig fram till formler med villkor man är osäker på hur man ska tillämpa tycker jag bara är farligt. Bättre är det då att hela tiden fundera på vad det är som faktiskt beräknas och vad formlerna faktiskt betyder.

Det är ju det som är grejen.
De här "standardformlerna" kommer jag inte ihåg och vet inte var de kommer ifrån heller. Nu DET är farligt.
Det är bättre att kunna härleda de istället så att jag kan ta fram det jag behöver för situationen.

Men om jag istället försöker integrera a(t), v(t) så kanske det går bättre?
Jag ska försöka i alla fall.

Jag visade exempel på integralerna i mitt första inlägg. Men annars kan du ju tänka som följande:

Man har en viss starthastighet som ökar med a varje sekund, då är ju hastigheten efter en tid t

v(t) = v(0) + at

Sträckan kan man beräkna som medelhastigheten gånger tiden, plus den sträcka man börjar från. Om accelerationen är konstant blir då medelhastigheten (v(0)+v(t))/2. (Man kan t.ex rita en bild om det inte är uppenbart direkt.) Det ger att

s(t) = s(0) + v(0)t/2 + v(t)t/2

som man sedan kan tillämpa den tidigare formeln på för att få

s(t) = s(0) + v(0)t + at^2/2

Jag fattar inte hur jag löser uppgiften. Vilka formler jag ska använda och var de kommer ifrån...
T ex har bilen farten 10 m/s i punkt A. Multiplicera med tiden det tar att komma dit (2.5s) och du får 10 * 2.5 = 25 m, vilket är för långt.

Saken är att hastigheten inte är konstant. Vid konstant acceleration gäller

s(t) = s(0) + v(0)t + at^2/2

I detta fall är s(0) = 0, v(0) = 0 och t = 2,5 s. Dvs

|OA| = s(t) = 4*6,25/2 m= 12,5 m

För AB får vi sedan om vi börjar vid börjar vid t=0 då vi passerar A att s(0) = 0, v(0) = 10 m/s och t = 6 s.

|AB| = s(t) = 10*6 + 3*36/2 m = 60 + 54 m = 114 m

Okej, det finns alltså konstant hastighet och konstant acceleration som jag måste ta hänsyn till.
I dina integraler har du automatiska lagt till v(0) vid integreringen av accelerationen.
Sedan har du integrerat v(0)t + at samt lagt till en s(0).
Varför har du lagt till dessa?

Det är en följd av att

\int_a^b f(t)dt = F(b) - F(a) (integralkalkylens fundamentalsats)

vilket till exempel ger

v(t) - v(0) = \int_0^t a*dT

eller

s(t) - s(0) = \int_0^t v(T)*dT