2010-06-22, 12:17
#13
Citat:
Ursprungligen postat av Otrolig
Att bevisa att om λₓ = 0 (godtyckligt antal egenvektorer med egenvärden 0, dock minst en) gäller ur sekularekvationen att det(A - 0·E) = 0 ⇔ detA = 0. Men hur visar man omvändningen, om detA = 0 finns minst ett egenvärde λₓ sådant att λₓ = 0?
Om man redan känner till det faktum att om det A = 0 så finns en nollskild (kolonn-)vektor x så att Ax = 0 så är du ju klar, då blir Ax = 0x och x är alltså en egenvektor med egenvärdet 0.
Om du ska bevisa detta faktum från scratch så att säga, så går det, väldigt skissartat, till såhär:
(När jag nedan säger att A är en n x n-matris, så menar jag att koefficienterna är i någon kropp K, förslagsvis R eller C)
Sats 1 (dimensionssatsen): Låt A vara en m x n-matris, låt Im A vara dess kolonnrum, låt Ker A vara dess nollrum. Då är
dim Im A + dim Ker A = n
Bevis: Låt k = dim Ker A, och låt v_1, ..., v_k vara en bas för Ker A. Utvidga till en bas v_1, ..., v_k, v_{k+1}, ..., v_n för R^n. Då kan man lätt verifiera att Av_{k+1}, ..., Av_{n} är en bas för Im A, och alltså måste dim Im A = n - k. (Okej, det här blev inte helt från scratch, man måste först bevisa att baser existerar, och kan utvidgas, och att dimensionen är väldefinierad)
Sats 2: Låt A vara en nxn-matris, med rang r. Då är A inverterbar om och endast om r = n.
Bevis: Om r inte är n så är dim Im A < n, och alltså är A (sedd som en linjär avbildning R^n -> R^n) inte surjektiv, och kan alltså inte vara inverterbar. Om r = n, så är omvänt A surjektiv, och av Sats 1 följer att Ker A = {0}, ur vilket följer att A är injektiv. Då existerar en inversfunktion till den linjära avbildningen A, man kan se att den här inversen också måste vara en linjär avbildning, och alltså finns det en motsvarande matris B som är invers till A.
Sats 3: Låt A, B vara n x n-matriser. Då är det(AB) = det(A)det(B)
Bevis: Beror helt på hur man definierar determinanten. Kan vara antingen närmast trivial, eller jättedrygt. Så vi skippar det här beviset.
Sats 4: Låt A vara en n x n-matris. Då är A inverterbar endast om det A ≠ 0. (Det omvända gäller också, men det kommer jag inte behöva)
Bevis: Om det A = 0, och A är inverterbar med invers B säg, så är
1 = det I = det AB = det A det B = 0
vilket är en motsägelse.
Nu följer det att om det A = 0, så är A inte inverterbar, och alltså har den rang r med r < n, och alltså följer att dim Ker A > 0, och alltså kan vi välja ett nollskilt x i Ker A, det vill säga ett x med Ax = 0, eller med andra ord en egenvektor x med egenvärde 0.
Det som är det här dessutom också visar är att den geometriska multipliciteten av egenvärdet 0 (antalet linjärt oberoende egenvektorer man kan hitta), är lika med n - rang(A). I den ursprungliga frågan har A rang 1, och man kan alltså direkt se att det kommer finnas två linjärt oberoende egenvektorer med egenvärde 0.
