Uppgift: Hitta ett egenvärde UTAN räkning!

Jag har en uppgift som säger hitta ett egenvärde och två linjärt OBEROENDE egenvektorer för matrisen A=
[5 5 5
5 5 5
5 5 5]
UTAN RÄKNING!
Jag har inte en aning om var jag ska börja. Är det någon som är smart nog att tipsa om denna uppgift?
(Har inget facit för uppgiften heller.)

Du ser direkt att matrisen inte är inverterbar, eller med andra ord så är 0 ett egenvärde. En egenvektor med egenvärde 0 är alltså ett (x, y, z) så att

5x + 5y + 5z = 0
5x + 5y + 5z = 0
5x + 5y + 5z = 0

eller helt enkelt

x + y + z = 0.

Kan du hitta två linjärt oberoende sådana (x, y, z)?

Hmmm. En gissning, men kan det vara något som [-1 1 0] och [-1 0 1]?

Sätt antingen parameterlösning, alternativt hitta en vektor som är ortogonal mot (1 1 1), exempelvis (1 -1 0) och (1 1 1) × (1 -1 0) = (1 1 -2) och där har du två egenvektorer med egenvärde 0.

Undrar förresten över detta, om jag förstår det rätt så givet en matris kvadratisk A och detA = 0 så vet man att ett egenvärde är lika med 0? Hur kan man bevisa detta, och säger det bara att det finns ett egenvärde som är 0?

Tror jag kom på det själv förresten, om detA = 0 och sekularekvationen är det(A - λE) = 0 och låt ett egenvärde vara λₓ = 0 så ger insättning i sekularekvationen att det(A) = 0 vilket innebär att en matris kan bara ha ett egenvärde λₓ = 0 om detA = 0. Bevis nog?

Kul dock att du sa detta, har faktiskt inte tänkt på det men rätt användbart!

Såvitt jag förstår så går det att bevisa att om och endast om det A = 0 så har den ett egenvärde 0. Men den skulle kunna ha fler egenvärden.

Hmmm. Själv använder jag bara ekvationen (A - kI)x = 0. Inte någon determinant.

Ja, det stämmer bra det.

Då var det som jag trodde då.
Eftersom raderna är linjärt beroende kommer vi få en parameterlösning och dessa vektorer i en parameterlösning är garanterade att vara linjärt oberoende (anledningen kommer jag dock inte på varför).

Går dock att bevisa med din version också. Antag att ett egenvärde är 0, då får vi att AX = 0. Detta system har icke-triviala lösningar och och endast om detA = 0.

Att bevisa att om λₓ = 0 (godtyckligt antal egenvektorer med egenvärden 0, dock minst en) gäller ur sekularekvationen att det(A - 0·E) = 0 ⇔ detA = 0. Men hur visar man omvändningen, om detA = 0 finns minst ett egenvärde λₓ sådant att λₓ = 0?

Lambda är ett egenvärde av matrisen M om det finns en vektor v "non nul" (alltså inte noll, inte tom?) så att M*v = lambda*v, och egenvärdena är rötterna (nollpunkterna?) av det "karaktäristiska polynomet" det(M-lambda*E)... Det är vad jag kommer ihåg angående egenvärden.

Jag kan tänka mig att jag kissnödig på väg hem i nedförsbacke och medvind skulle kunna få ihop någon slags halvarslad förklaring till hur matriser med det=0 ser ut och knalla vidare därifrån, men du är knappast intresserad av det, utan vill säkert diskutera med någon som åtminstone nästan är duktig på matriser

Egenvärden är ju λ som uppfyller Av = λv <=> (A - λI)v = 0 för någon nollskild vektor v.

Ekvationer av typ Av = 0 har icketriviala lösningar är ekvivalent med att det(A) = 0. Vilket man ju kan visa genom att kolla på ekvationssystemet. Omm det finns färre oberoende ekvationer än det finns variabler så finns det fler än en lösning.

Alltså är λ en egenvektor omm det(A - λI) = 0.