2010-06-17, 14:14
#1
Hej har en tråd i uppgifts forumet men insåg att den nu lämpar sig bättre här:
Jag är en första års universitets student, så mycket av vad jag skriver kan jag ytterst lite om. Nu motsäger två av mina källor varandra angeående:
Är varje p-adiskt “field complete”? och är det då ett ekvivalent “statement” till att varje cauchy “sequence” konvergerar till en punkt I det givna fältet?
Enligt svenska wikipedia stämmer detta;
“...Detta innebär att varje Cauchyföljd konvergerar mot en punkt i fältet…”
Men enligt en bok jag använder mig av, Lectures on Elliptical curves,
“… Not every p-adic fundamental sequence (samma som cauchyföljd) is convergent.” och så ger de ett example i vilket jag inte kan hitta något fel, kan du?
Konstruera en sequence {a_n} så att a_n tillhör Z och
(a_n)^2 + 1 (congruent) 0 mod 5^n
Och
a_(n+1) (congruent) a_n mod 5^n
De antar att de redan har hittat ett a_n for något n och sätter a_(n+1) = a_n + b5^n, så att b (tillhör) Z ska hittas. Vi kräver
(a_n + b 5^n)^2 + 1 (congruent) 0 mod 5^(n+1)
Vilket är detsamma som att säga
2b a_n + c (congruent) 0 mod 5 *
Där vi redan har c = ((a_n)^2 + 1)/5^n (tillhör) Z
Nu fortsätter dem med, “clearly 5 doesnt divide a_n...” (vilket jag antar kommer ifrån a_(n+1) (congruent) a_n mod 5^n men kan inte bevisa det)
”... and so we can solve * for the unkown b.” Vilket jag inte heller ser direkt hur man ska göra utan att introducera en ny variable i vänsterledet.
Slutligen vet jag inte vart de vill komma med det här eftersom det som kommer nu är det som jag anser vara intressant.
Följden {a_n} som precis konstruerats är en 5-adic cauchy följd eftersom |a_m-a_n| ≤5^(-n) (m≥n}
Antag tat a_n “tends” 5-adiskt till ett rationellt tal e. Då
(a_n)^2 + 1 (tends) e^2 + 1 men
(a_n)^2 + 1 (tends) 0
Så e kan inte vara ett rationellt tal, contradiction.
-----------
Har jag missuppfatat uppgiften eller motbevisar den tat alla p-adiska cauchyföljder konvergerar, vilket är något som annars verkar vara det centrala med p-adiska tal.
Jag är en första års universitets student, så mycket av vad jag skriver kan jag ytterst lite om. Nu motsäger två av mina källor varandra angeående:
Är varje p-adiskt “field complete”? och är det då ett ekvivalent “statement” till att varje cauchy “sequence” konvergerar till en punkt I det givna fältet?
Enligt svenska wikipedia stämmer detta;
“...Detta innebär att varje Cauchyföljd konvergerar mot en punkt i fältet…”
Men enligt en bok jag använder mig av, Lectures on Elliptical curves,
“… Not every p-adic fundamental sequence (samma som cauchyföljd) is convergent.” och så ger de ett example i vilket jag inte kan hitta något fel, kan du?
Konstruera en sequence {a_n} så att a_n tillhör Z och
(a_n)^2 + 1 (congruent) 0 mod 5^n
Och
a_(n+1) (congruent) a_n mod 5^n
De antar att de redan har hittat ett a_n for något n och sätter a_(n+1) = a_n + b5^n, så att b (tillhör) Z ska hittas. Vi kräver
(a_n + b 5^n)^2 + 1 (congruent) 0 mod 5^(n+1)
Vilket är detsamma som att säga
2b a_n + c (congruent) 0 mod 5 *
Där vi redan har c = ((a_n)^2 + 1)/5^n (tillhör) Z
Nu fortsätter dem med, “clearly 5 doesnt divide a_n...” (vilket jag antar kommer ifrån a_(n+1) (congruent) a_n mod 5^n men kan inte bevisa det)
”... and so we can solve * for the unkown b.” Vilket jag inte heller ser direkt hur man ska göra utan att introducera en ny variable i vänsterledet.
Slutligen vet jag inte vart de vill komma med det här eftersom det som kommer nu är det som jag anser vara intressant.
Följden {a_n} som precis konstruerats är en 5-adic cauchy följd eftersom |a_m-a_n| ≤5^(-n) (m≥n}
Antag tat a_n “tends” 5-adiskt till ett rationellt tal e. Då
(a_n)^2 + 1 (tends) e^2 + 1 men
(a_n)^2 + 1 (tends) 0
Så e kan inte vara ett rationellt tal, contradiction.
-----------
Har jag missuppfatat uppgiften eller motbevisar den tat alla p-adiska cauchyföljder konvergerar, vilket är något som annars verkar vara det centrala med p-adiska tal.
