Den geometrisk jämviktspunkten

Jag föreställer mig att knepet är att utifrån en godtycklig punkt i kanten av figuren dra en rät linje så att man får lika mycket area på bägge sidor. Gör man två såna linjer så kommer jämviktspunkten att vara där linjerna möts. Eller är jag fel ute...?

Om man kan klippa ut figuren i papp så kan man placera linjerna genom att hålla den lodrät med en nål i kanten så att figuren väger jämnt, och låta ett snöre med en tyngd från nålen markera linjerna, en i taget.

En figur som ser ut som ett C fast med raka streck har sin jämviktspunkt utanför arean - om jag inte har fel ...

Rätt. Och det gäller även för ett "mjukt" c, och många andra krumeluriga figurer.

Ett förslag: dela upp problemet i två delar, ett för varje dimension. Jämvikt i 1D är lättare. Har inte hittat någon bra formel ännu, men det kommer. Man får integrera ytan av objektet, en gång för varje dimension.

Skulle objektet vara diskret (en minsta byggsten är definierad) borde det vara relativt rätt på.

Dett går även att göra för 3D-objekt, dvs där olika punkter har olika tjocklek, eller olika densitet.

Grundiden (enkelt diskret exempel, C-formen, summera ner antalet *:er)

_***
*___*
*
*___*
_***
======
32222

_***
*___*
*___*
*___*
_*_*
======
32123

Sätt upp jämviktsekvationer.

1: 3x + 2 (x+1) + 2 (x+2) + 2 (x+3) + 2 (x+4) = 0
1: 11x + 20 = 0
1: x = - 20/11 (< -2)

2: 3y + 2 (y+1) + 1 (y+2) + 2 (y+3) + 3 (y+4) = 0
2: 11y + 22 = 0
2: y = -2

Leder till följande jämviktspunkt (den ligger något vänster om centrumlinjen).

_***_
*___*
*_O
*___*
_***

====

Mirakelpiskan och Scratchy har förstås helt rätt. Man tar en dimension i taget och kombinerar resultatet. Först beräknar man integralen av x över området och delar med arean. Detta ger x-koordinaten. Sedan beräknar man integralen av y över samma område och delar än en gång med arean. Detta ger y-koordinaten. Intuitionen är att man vill beräkna det genomsnittliga x-värdet och det genomsnittliga y-värdet, precis som i Mirakelpiskans exempel.

Ett enkelt exempel: Säg att vi har en rektangel bestående av alla punkter (x,y) som uppfyller a < x < b och c < y < d. Arean är A = (b-a)*(d-c). Integralen av x blir

I(x) = int(x, [x=a..b, y=c..d]) = int(x, [x=a..b])*(d-c)

= (b^2/2-a^2/2)*(d-c) = A*(b+a)/2.

x-koordinaten blir alltså I(x)/A = (a+b)/2.

Integralen av y blir

I(y) = int(y, [x=a..b, y=c..d]) = (b-a)*(d^2/2-c^2/2) = A*(d+c)/2.

y-koordinaten blir alltså I(y)/A = (c+d)/2.

Detta hade man förstås kunnat räkna ut ändå utan att använda integraler, men det är alltid bra att testa sina formler på exempel där man vet svaret.

Googla på "center of mass" för mer information. "Moment" är ett finare ord för I(x) och I(y).

Här finns diverse exempel (skippa de skumma formlerna precis i början och gå direkt på exemplen):

http://faculty.eicc.edu/bwood/ma220s...lemental22.htm

(Sätt "density" lika med 1 och tänk på att de betecknar I(x) med M_y och I(y) med M_x.)

Tack så mycket, jag ska göra ett försök