[Avancerat problem] Går detta att bevisa?

Kanske bara en slump, men för alla n och m upp till och med 14 så är varken 2 eller 3 en faktor i 2^n - 3^m. http://codepad.org/cshLfl2L

Alla bidrag är välkomna, även de som inte leder till 'rätt svar' så att säga. Jag tror inte det här är någon uppgift som löses över en natt; jag uppskattar därför alla riktlinjer och funderingar så att jag kan fortsätta jobba på problemet vid senare tillfälle.

Försöker mig på ett motsägelsebevis, anta att utsagan fungerar:

Antag att m > 0 (om "produkt" kan jag väl anta att k > 1, åtminstone k > 0).

2^n - 3^m = 3^k ⇔ 2^n = 3^k + 3^m = 3(3^(k-1) + 3^(m -1))

Vi har att 2^n = 3(3^(k-1) + 3^(m -1)). Vänsterledet innehåller primtalet 3 vilket högerledet aldrig kommer att göra. Därmed motsägelse och det gäller för k, m > 0 och därmed alltid.

Vet inte om detta ovan håller, men behöver man bevisa för m = 0 om det är giltigt eller räknas ens 0 som ett heltal? Såga beviset nu.

Använd moduloräkning.

2*2 ≡ 1 (mod 3)

så

2^n ≡ 2 (mod 3) om n udda
2^n ≡ 1 (mod 3) om n jämn

Vidare är

3^m ≡ 0 (mod 3)

Alltså är

2^n - 3^m ≡ 2 - 0 ≡ 2 (mod n) om n udda
2^n - 3^m ≡ 1 - 0 ≡ 1 (mod n) om n jämn.

Alltså är 2^n - 3^m aldrig delbart med 3 och kan inte skrivas som 3^k.

Använd moduloräkning.

2*2 ≡ 1 (mod 3)

så

2^n ≡ 2 (mod 3) om n udda
2^n ≡ 1 (mod 3) om n jämn

Vidare är

3^m ≡ 0 (mod 3)

Alltså är

2^n - 3^m ≡ 2 - 0 ≡ 2 (mod n) om n udda
2^n - 3^m ≡ 1 - 0 ≡ 1 (mod n) om n jämn.

Alltså är 2^n - 3^m aldrig delbart med 3 och kan inte skrivas som 3^k.

m >= 1 glömde jag också nämna, så det finns inga problem med m = 0 - åtminstone inte för min tillämpning.

Använd moduloräkning.

2*2 ≡ 1 (mod 3)

så

2^n ≡ 2 (mod 3) om n udda
2^n ≡ 1 (mod 3) om n jämn

Vidare är

3^m ≡ 0 (mod 3)

Alltså är

2^n - 3^m ≡ 2 - 0 ≡ 2 (mod n) om n udda
2^n - 3^m ≡ 1 - 0 ≡ 1 (mod n) om n jämn.

Alltså är 2^n - 3^m aldrig delbart med 3 och kan inte skrivas som 3^k.

Intressant, då kanske mitt bevis håller (även om det där modulo-beviset var allt fint). Skulle vara kul om man lyckats producera något vettigt inom talteori för en gångs skull, ack denna svåra del av matematiken.