Matte E Komplexa tal

Hur gör man när man ska förenkla uttrycket z^2 + z^(-2) + |z|^2 så långt som möjligt då z=1+2i ?

Någon som vill förklara så jag förstår

Jätte tacksam för hjälp!

z^n=r^(cos(nv)+isin(nv)) I detta fall är n=2, r=z vilket är absolutbeloppet vilket är sqrt(1^2+2^2) alltså hypotenusan i det komplexa talplanet. v är argumentet av z, eller vinkeln som du får genom vanlig trigonometri. I detta fall sin^-1(1/(sqrt(5)))=v, eller cos^-1(2/(sqrt(5)))=v

z^(-2) har jag inte stött på då jag har haft matte E vad jag kommer ihåg så kan inte hjälpa där.

|z|^2 är argumentet av z i kvadrat, alltså den reella delen i kvadrat plus den imaginäradelen i kvadrat, a^2+b^2, eller i detta fall 1^2+2^2

sedan, då du fått hjälp med z^-2, så skriver du det på samma form och plussar ihop det

z^2 = (1+2i)^2 = 1^2 + 2*2i + 4i^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i.

z^(-2) = {från ekvationen ovan} = 1/(-3 + 4i) = (-3 + 4i)*/(-3 + 4i)(-3 + 4i)* (* står för konjugatet) = (-3-4i)/(-3+4i)(-3-4i) = (-3-4i)/(9+16) = (-3-4i)/25.

|z|^2 = zz* = 1^2 + 2^2 = 5.

z^2 + 1/25 * (z^2)* + 5 = -3+4i + (-3-4i)/25 + 5 = (-75+100i -3 -4i + 125) / 25 = (47 + 96i)/25 = 1.88 + 3.84i.

Jag tror inte han är ute efter att räkna på polär form, utan i rektangulär.

(i) z² = (1 + 2i)² = 1 + 4i + 4i² = 4i - 3
(ii) 1/z² = 1/(1 + 2i)² = 1/(4i - 3) = -1/(3 - 4i) = -(3 + 4i)/((3 + 4i)(3 - 4i)) = -(3 + 4i)/(9 + 16) = -3/25 - 4i/25
(iii) |z|² = √(1² + 2²)² = √(5)² = 5

Det jag gjorde i (ii) var att förlänga med konjugatet, ett trick för att få nämnaren i ren reell form.

Okey! kanon då förstår jag, stort tack!

Men en än svårare är följdfrågan:
Antag att W är konjugatet till det komplex talet z. Funktionen f(u) = u^2
Kan man hitta ett z som uppfyller f(z/(2w))=1/2 egentligen?

Sätt z = a + bi och w = z' = a - bi och insättning f(z/(2z')) = (a + bi)²/(4(a - bi)²) = 1/2. Lös detta och se var du hamnar.

är z´menat prim z?

Nej, konjugatet av z. Kan även noteras z* men jag föredrar z'.

Nu har jag suttit och försökt klura med förstår ändå inte.
Sorry men hur ska jag ta mig vidare.

Vi har z = x + yi och z' = x - yi.

(z/(2z')) = (x + yi)²/(4(x - yi)²) = 1/2. Vi får:

(x + yi)² = 2(x - yi)² ⇔ x² + 2xyi - y² = 2x² - 4xyi - 2y² ⇔ x² - 6xyi - y² = 0

Vi kvadratkompletterar med avseende på x:

(x - 3yi)² - (3yi)² - y² = 0 ⇔ (x - 3yi)² + 9y² - y² = 0 ⇔ (x - 3yi)² + 8y² = 0

Vi har en lösning om båda kvadraterna är lika med 0.

{ x - 3y = 0
{ y = 0

Detta leder till att x = y = 0, dock går ej denna lösning då vi får nolldivision. Svaret på frågan är alltså nej, inga sådana komplexa tal finns.

Lättare att bara multiplicera med konjugatet direkt. Går snabbare.

Jag har märkt att MATLAB och WolframAlpha ger lösningar som strider mot de komplexa talens definition. Om vi låter b = (2√2-3)ai och sedan låter z = a+bi och z' = a-bi så leder detta till z^2/(2z')^2 = 1/2. Om vi däremot tittar lite närmare på det hela ser vi att z = a + bi = a + ((2√2 - 3)ai)i = a - (2√2 - 3)a = reellt tal; detta leder förstås till att z' != a - bi.

Både MATLAB och WolframAlpha ger dock lösningarna b = (2√2-3)ai och b = -(2√2+3)ai. Förslagsvis bör de uppdatera sina solvers och förslagsvis bör man akta sig för att lita på dessa program då komplexa tal behandlas.