Ma D fördjupningsuppgift "En märklig Sinusfunktion"

Rita grafen till funktionen f(x)= x * sin(1/x)
med hjälp av dator eller grafräknare.

Visa att grafen skär x-axel oändligt många ggr. Visa dessutom att kurvan mellan två på varandra följande skärningar med x-axeln tangerar en av linjerna! y=x y=-x

Grafen -->
[IMG=http://img704.imageshack.us/img704/7145/mrkligsinusfunktion.jpg][/IMG]

Uploaded with ImageShack.us

Skulle vara tacksam för hjälp/tips om hur jag ska lösa detta. Eller en lösning.. Har försökt på alla sätt med fattar inte hur jag ska lösa denna

Kan dock meddela att det jag inte fattar är det där med linjerna..

Kurvan borde ju tangera kurvan y = x varje gång sin(1/x) = 1, eftersom i så fall f(x) = x * sin(1/x) = x. Derivatan blir f'(x) = sin(1/x) - 1/x*cos(1/x) = sin(1/x) = 1, eftersom sin(1/x) = 1 -> cos(1/x) = 0. Samma sätt för kurvan y = -x.
Så det räcker att visa att mellan två på varandra följande skärningar med x-axeln finns det en punkt x för vilken sin(1/x) = 1 eller sin(1/x) = -1.

Skall detta bevisas analytiskt eller demonstreras med geometriska resonemang?

Ett sätt att bevisa det andra påståendet (den om linjerna) är att tänka såhär: kurvan xsin(1/x) har Amplituden x. Det betyder att dess största och minsta avvikelse från utgångsläget är x och -x.
Det är analogt med att bevisa att 3sinx tangerar y = 3 eller y = -3 mellan två på varandra följande (d.v.s konsekutiva) skärningar med x-axeln. Det resonemanget borde du klara.

x-axeln <=> y=0 <=> x sin (1/x) = 0 ger

x=0 (falsk rot) och/eller sin(1/x) = 0 ger

1/x=n*pi

x=1/(n*pi) där n är alla (oändligt många) heltal men ej noll,

dvs det finns oändligt många lösningar i intervallet [-1/pi , 1/pi].

Tangering av y=x sin (1/x) av y= x = 1*x innebär att både y-värde och derivata är lika för
båda funktionerna vid de sökta x-värdena. Omsatt i formler blir detta:

y'= sin(1/x)-1/x*cos(1/x) = 1 (derivator lika)

y= x sin (1/x)= x (y-värden lika)

Detta system ger

1/x*cos(1/x) = 0

cos(1/x) = 0

osv...lös denna ekvation...dessa nollställen kommer att altenera nollställen för sin(1/x) = 0 logiskt nog...