Citat:
Ursprungligen postat av Flaskhalsat
I ett äldre badrum kan man tappa vatten i badkaret via två kranar, en för varmvatten och en för kallvatten. Om varmvattenkranen öppnas för fullt, fylls karet på 19 minuter. Om istället kallvattenkranen öppnas för fullt, fylls karet på 13 minuter. Vilken blir temperaturen på vattnet i karet, om det fylls genom att båda kranarna öppnas för fullt?
Varmvattnets temperaur är 78 °C och kallvattnets är 10 °C.
Den här är lite småklurig, men man får helt enkelt använda proportionalitet ett antal gånger för att komma fram till hur stor andel av det fulla karets volym som utgörs av varmt respektive kallt vatten och sedan får man därifrån interpolera fram sluttemperaturen genom att värmekapaciteten är samma för både varm- och kallvattnet (det är ju rent vatten i båda fallen).
Man börjar med att beteckna karets volym med V (man kan tänka sig att det är ett antal liter). Då gäller att flödeshastigheten ur varmvattenkranen (xv) mätt i liter per minut uppfyller ekvationen xv * 19 = V. Motsvarande för kallvattenkranen (xk) blir xk * 13 = V. När båda kranarna öppnas helt så blir flödeshastigheten summan av xv och xk.
Sätter man vänsterleden lika (karets volym V i högerledet är ju densamma) så får man alltså xv * 19 = xk * 13, eller xk/xv = 19/13. Detta betyder att vid en godtycklig tidpunkt t så har 19/13 gånger så mycket kallvatten som varmvatten hamnat i badkaret.
När karet är fullt gäller då, om man betecknar volymerna av varmvatten respektive kallvatten med Vv och Vk, att Vk/Vv = 19/13 eller ekvivalent Vk = 19/13 * Vv samt att Vv + Vk = V. Då kan man konstatera att Vv + 19/13 * Vv = V, dvs 32/13 * Vv = V eller alternativt Vv = 13/32 * V. Motsvarande blir Vk = 19/32 * V.
Eftersom vikten är proportionell mot volymen så får man alltså att varmvattnet jämfört med kallvattnet har en överenergi proportionell mot 68 °C * 13/32 * V vilket sedan måste fördelas på hela volymen och då ger upphov till en temperaturökning från 10 °C på ΔT, där det gäller att energin är proportionell mot ΔT * V.
Dessa proportionaliteter måste vara lika pga energibevarande, vilket ger
ΔT * V = 68 °C * 13/32 * V
eller
ΔT = 68 °C * 13/32 = 27,625
Då blir alltså temperaturen för vattnet i hela karet 10 °C plus detta, dvs 37,625 °C.
