Fördjupningsuppgift Matte D

Hej behöver lite hjälp med en matte D uppgift

"Bära Piano"
En korridor som har den konstanta bredden 1 meter bildar ett hörn i 90 graders vinkel. Vilken är den största horisontella area som kan förflyttas horisontellt genom detta vinkelhörn? Begränsa uppgiften till rektangulära föremål. Det kan till exempel vara ett tungt piano som inte kan tippas.

Tacksam för hjälp :P

Fick plötsligt väldigt bråttom, så hinner inte förklara så noga just nu. Men jag slänger upp mina räkningar så får du grunna. Garanterar förstås inte att det är rätt...

Bild:
http://img293.imageshack.us/i/grej.jpg/

h+y = √2
(h+y)²+(h+y)² = (a+b)² => a+b = 2
(a+b)²+(a+b)² = (x+2y)² => (x+2y)² = 8 => x=√8-2y

Area = xy = (√8-2y)y = -2y²+y√8
Max när derivata=0:
-4y+√8 = 0
y=1/√2
x=√8-2y = √8-2(1/√2) = √2

Area = xy = 1/√2 * √2 = 1m²

Du skulle inte kunna förklara lite snabbt vad du gjort här, tex hur man vet att h+y = √2?

h+y = √2
(h+y)²+(h+y)² = (a+b)² => a+b = 2
(a+b)²+(a+b)² = (x+2y)² => (x+2y)² = 8 => x=√8-2y

Tacksam för svar!

h+y är diagonalen vid svängen. Genom pythagoras sats är därmed 1^2+1^2=(h+y)^2
h+y=sqrt(2)

a+b är sedan diagonalen i trianglen h+y, h+y

Som du ser är allting uppbyggt av likbenta trianglar

Precis som TengilJr här ovan säger, så kommer dessa samband ur de trianglar som uppstår. Alla tre är samband via pythagoras sats.

Första triangelns hypotenusa är som Tengil sa diagonalen vid svängen. Korridorens bredd är 1m på båda sidor om svängen, vilket gör att triangelns båda kateter blir 1 (många år i skola, men fortfarande osäker på hur man säger 'katet' i plural) och hypotenusan alltså roten ur (1²+1²)= roten ur 2.

Den andra triangeln är den där längden a+b är hypotenusa och svängens diagonal är ena kateten. Vinkla huvet 45 grader åt höger så ser man triangeln lättare =) Ur detta pythagoriska samband tillsammans med det man vet om h+y får man att a+b=2.

Den tredje triangelns hypotenusa ligger mot svängens hörn, och sträcker sig bort mot båda väggar enligt de streckade linjerna. Kateterna blir längden a+b på båda sidor om svängen. Använd Pythagoras och att a+b=2 så fås ett samband mellan x och y.

Mja, lite rörigt att förklara, hoppas det blev tydligare.