Jag har inte förstått y'' riktigt- Någon som vill förklara?

"aa jag vet, dricka bärs. Fan fett med krök"

Den pekar uppåt om y' > 0 och nedåt om y' < 0, men den kröker uppåt om y'' > 0 och nedåt om y'' < 0.

Ajdå, my bad Får skylla på att svenska inte är mitt modersmål

Det är kanske inte begreppet derivata och andra-derivata du har problem med då. Det kan vara så att du har svårt med den abstrakta förståelsen; dvs när det handlar om variabler som kan beskriva vad som helst.

Jag kan ge mig på ett försök trots allt, det kan hjälpa med fler perspektiv.


Derivatan är lutningen på en kurva, det är alltså två ord för samma sak → lutning = derivata. Ett rakt streck lutar alltid likadant, det betyder att derivatan alltid är likadan - alltså har samma värde. Säg att en rät linje har k-värde 2, då är derivatan alltid 2 och det är samma sak som att säga att den räta linjen alltid lutar med värdet 2, oavsett var på den räta linjen vi tittar.

Det betyder alltså att derivatan och lutningen av derivatan är två olika saker. Känner du derivatan till en funktion så känner du lutningen av funktionen. Känner du andra-derivatan till samma funktion känner du lutningen av derivatan, alltså lutningen av lutningen av funktionen. Det blir knas när man säger det på det viset, det var mest för att belysa att derivata och derivatans lutning är två olika saker.

Låt oss nu byta ut ordet lutning mot förändring. När vi känner derivatan av en funktion så känner vi dess förändring - eller snarare dess förändringshastighet. Ett sånt här enkelt ordbyte gör - förhoppningsvis - saker och ting tydligare. Andra-derivatan är således förändring av förändringen. Vi säger att vi har en funktion, y=x^2. Derivatan är 2x, det här säger helt enkelt att om x är 5 så derivatan - alltså förändringshastigheten - 2*5 = 10 i den punkten. Det här är samma sak som att säga att i punkten x=5 lutar x^2 lika mycket som en rät linje med k-värde 10.

Vad säger andra-derivatan i vårt exempel? Den är i vår funktion alltid lika med 2. Man kan säga att det här är likvärdigt med att förändringen av förändringen är 2. Eller kanske lite mer tydligt; förändringen av derivatan är 2. Kort och gott innebär det helt enkelt att derivatan alltid kommer bli större och hastigheten det sker med är 2, enligt andra-derivatan.

Om vi tar mitt första exempel med en rät linje. Jag förklarade att derivatan alltid är densamma, den ändras aldrig. Det här är precis samma sak som att säga att andra-derivatan är noll överallt. Förändringshastigheten av derivatan är 0, eftersom derivatan alltid är densamma.

En bild kanske säger mer än dessa tusentals ord jag redan skrivit. För att vara på den säkra sidan skrev jag några tiotal ord även i samband med bilden: http://i39.tinypic.com/1442sxv.png.

Siffrorna i ringarna anger vilken ordning du bör studera texterna. Hoppas jag har fått lite rätsida på det hela åt dig.

Och varför inte ta ett till exempel; det kan väl knappast skada: http://i43.tinypic.com/16ap55s.png.

Det inlägget var till otroligt hjälp. Det jag inte fortfarande förtstår är är y" för olika terass. Speciellt vad som skiljer det åt från att lutningen är 0 på terass och på en Min/max punkt.?

Skulle du har lust att förklara det med exempel?

Lutningen - alltså derivatan - är noll på alla min- och maxpunkter, men den är även noll på en terrasspunkt. Derivatan är alltså ett horisontellt streck i alla dessa typer av punkter.

Nu kommer det ett litet klurigt stycke; om du hittat en punkt där derivatan är noll så har du hittat en av följande: minimipunkt, maxpunkt eller terrasspunkt. Du kan alltså inte veta vilken typ du hittat helt säkert förrän du har gjort nästa test, derivatan säger helt enkelt bara att du hittat någon typ av extrempunkt - alltså antingen min-, max- eller terrasspunkt.

Det är här andra-derivatan kommer in i bilden. Om andra-derivatan är positiv så vet du att det är en minimipunkt, för då kommer derivatan alltid att bli större - alltså kommer derivatan alltid att luta mer och mer uppåt; den kommer vridas moturs om man så vill. Till vänster om minimipunkten pekar derivatan neråt, i minimipunkten är derivatan ett horisontellt streck, till höger om minimipunkten pekar derivatan uppåt.

Om du pekar med ett finger framför dig och för handen åt samma håll som du pekar åt, först neråt, sen rakt till höger och till sist uppåt så har du ritat ut en kurva i luften där andra-derivatan är positiv hela tiden - ditt finger utgör första-derivatan och du ser att den alltid blir större; dvs den pekar mer och mer uppåt, även om den börjar med att peka neråt; alternativt kan man säga att den vrider sig hela tiden moturs.

Om första-derivatan är noll och andra-derivatan däremot är negativ så blir det precis tvärtom, då är punkten du hittat en maximipunkt och kurvan kommer vara en ∩-kurva (i förra exemplet var det en U-kurva). Vill du göra en liknande handmanöver här så kör du först uppåt, sen rakt åt höger, sen neråt.

Nu till den sista typen; terrasspunkten. Om första-derivatan är noll och även andra-derivatan är noll så vet du att du hittat en terrasspunkt. Om andra-derivatan är negativ till vänster om terrasspunkten så kommer den vara positiv till höger om terrassen och vice versa. Handmanöver: Uppåt, sen höger, sen uppåt; eller neråt, sen höger, till sist neråt igen. Det finns även mer avancerade terrasspunkter än så, men jag lämnar det åt ödet så länge.

Så här ska man alltså göra systematiskt om man vill hitta någon sorts extrempunkt: Först letar vi efter en punkt där derivatan är noll. När vi hittat en sådan så vet vi att vi hittat antingen en min-, max- eller terrasspunkt. Vi vet fortfarande inte vilken sort av dessa tre vi hittat; för att ta reda på det tittar vi på andra-derivatan. Om den är positiv så är det en U-kurva med minimipunkt, är den negativ är det en ∩-kurva med maximipunkt, är andra-derivatan 0 så vet vi att vi hittat en terrasspunkt.

HELVETTE!!! Du fick mig att förstå!! OMG du är så bäst!!! TAAAAACK!!

Nu när vi är innte på ämnet. Skulle du ha lust att förklara en sak för mig.
Då:

x=0,45 är y'=-4,1x
x=0,50 är y'=-6,3x
x=0,55 är y'=-8,8

Vad skulle ett närmevärde till y" vara vid 0,5??

y''=d/dx(y')=dy'/dx≈Δy'/Δx
y'(0.45)=-4.1*0.45
y'(0.55)=-8.8*0.55

Δy'/Δx=(-8.8*0.55-(-4.1*0.45))/(0.55-0.45)=-29.95

Man kan undersöka mellan 0.45 och 0.50 samt mellan 0.50 och 0.55 också. Sannolikt blir resultaten något i stil med det.

vad menas med alla dessa d:na och x:en skulle du vilja förklara med barnspråk?? Upskattar mycket!

Iofs, det enda jag inte förstår var varför du gångrade med 0,45 och den andra med 0,55
och varför du aldrig utnyttjade 0,5 ??

Du får ta och förtydliga exakt vad andraderivatorna i punkterna var, eftersom du skrev att t.ex. y'(0.45)=-4.1x, och här är ju x=0.45. Om du menade att y'(0.45)=-4.1 så får du ta och ändra siffrorna i uträkningen. Se till att skriva ordentligare nästa gång.

Angående mellan 0.45 och 0.55, så vet vi ju att d/dx(f(x))=lim h->0 (f(x+h)-f(x))/h. Men ett annat giltigt gränsvärde (så länge det första existerar) är att d/dx(f(x))=lim h->0 (f(x+h)-f(x-h))/(2h). Som approximation, alltså om man inte går i gräns, är det senare märkbart bättre. (Här är för övrigt h=0.05.)

Du kan räkna med det första gränsvärdet om du vill, du förstår förhoppningsvis principen nu.

d/dx är deriveringsoperatorn, dvs det gäller att d/dx(f(x))=f'(x).

Äntligen förstår jag hur det fungerar! Tack så jävla mycket!