difo-ekvationer

bestäm heltal x och y som uppfyler
217x^2+496y^2=15872

Notera att 496y² ≤ 15872 för |y| ≤ 5, så det är endast ett fåtal värden du behöver kontrollera. D.v.s. givet y så har du en lösning ifall x är ett heltal. De 8 lösningarna ges av (x,y) = (±8,±2) eller (x,y) = (±4,±5).

kan man inte köra SGD?

Med litet mer arbete kan man få än färre alternativ.

Först ser vi att 217, 496 och 15872 alla är delbara med 31. Ekvationen kan därför divideras med 31, vilket ger:
7x² + 16y² = 512

Sedan ser vi att 16 och 512 båda är delbara med 16, varför även 7x² måste vara det. Ingenting av delbarheten ligger i faktorn 7 utan x² måste vara delbart med 16, vilket innebär att x måste vara delbart med 4. Vi kan därför skriva x = 4z. Efter insättning och division med 16 får vi:
7z² + y² = 32

Nu har vi olikheten 7z² ≤ 7z² + y² = 32, vilket ger z² ≤ 4, dvs |z| ≤ 2, dvs möjliga värden på |z| är 0, 1 och 2. Vi har nu bara 3 varianter att testa.

Av dessa funkar inte z = 0, men z = ±1 och z = ±2 fungerar, vilket ger x = ±4 (och därmed y = ±5) respektive x = ±8 (med y = ±2).

Lösningarna är alltså: (x, y) = (±4, ±5) samt (x, y) = (±8, ±2).

kan man inte då för enkelthets skull hitta en lösninga så som du gjorde, låt säga en löning
x0=4 och yo=5
sedan alla lösningar borde vara
x=4+496n
y=5-217n där n är ett posetiv hel tal? därför att det jag har lärt mig i Diofantiska ekvationer är att antingen finns det en lösning eller så finns det oändligt lösningar.

Nej. Den här diofantiska ekvationen är inte linjär. Linjära sådana har endast variabler och konstanter, dvs. utan kvadrattermer, funktioner och annat mumbo-jumbo.

Det du har lärt dig fungerar endast för linjära diofantiska ekvationer.