diofantiska ekvationer

Man måste ju självklart dela hela ekvationen på SGD(a,b) om den är skiljd från 1.

Exempelvis.

Den diofantiska ekvationen:
6x+4y = 2
Har SGD(a,b) = 2

SGD(a,b) är en delare till c.
6x+4y = 2
⇔
3x+2y = 1

Går att lösa.
Eftersom SGD(3,2) = 1

Ja, det fungerar bra att dividera så där och sedan använda sig av formeln som aloshi skrev. Det är just eftersom den ekvationen vi då får uppfyller dom krav jag skrev.
Men det betyder ju inte att formeln gäller då SGD(a, b) är skild från 1 under förutsättningen att SGD(a, b) | c.

Jag vet inte om du har missuppfattat mig helt och hållet eller om jag har gjort det om dig, i vilket fall så...

Såhär är det:
Diofantiska ekvationen på formen:

ax+by = c

Ger lösningen:

x = cx_0±nb
y = cy_0±na

Där n∈ℤ
Där SGD(a,b) = 1
Om -na ⇒ nb
Om -nb ⇒ na

Om SGD(a,b) ≠ 1
Ges endast lösning om SGD(a,b)|c
Eftersom c/(SGD(a,b)) måste tillhöra ℤ

Detta stämmer eftersom:

SGD((a/(SGD(a,b)),(b/(SGD(a,b))) ≡ 1

Ja precis, det är som jag säger, det stämmer att lösningarna blir x = cx_0+nb, y = cy_0-na under förutsättning att SGD(a, b) = 1 och att a*x0 + b*y0 = 1, det gäller inte annars. Det gäller alltså inte när SGD(a, b) är skild från 1. Man kan dividera ekvationen med SGD(a, b) så man får en ny ekvation där dom förutsättningar jag skrev gäller, det betyder ju som sagt inte att formeln gällde för den tidigare ekvationen. Det blir ju olika a,b och c värden för dom ekvationerna.

Generellt så gäller det att om x0, y0 är en lösning till ax + by = c så blir alla lösningar x = x0 + n*b/d, y = y0 - n*a/d där d = SGD(a, b), det du skriver blir bara ett specialfall av det här.

Nej det är ingen "ny" ekvation. Skriver du den på formen y = kx+m så ser du att den räta linjen den diofantiska ekvationen skapar är precis exakt likadan som innan. Det är alltså samma räta linje.

Hmm. Säker på att inte y_0 skall multipliceras med c?

Håller ju med om att a,b skall delas med SGD(a/b). Men då måste ju även c delas med SGD(a,b) vilket då är exakt samma sak som det jag skrev.

Jag menar inte att ekvationerna inte är ekvivalenta utan att du får andra a,b och c värden. Dom här nya värdena går utmärkt att använda i formeln eftersom dom uppfyller kraven som jag skriver att dom måste göra. Dom gamla a,b och c värdena går inte att använda. Man kan alltså bara använda dom om dom uppfyller att SGD(a, b) = 1, inte annars.


Ja, y0 och x0 ska inte multipliceras med c. I det fallet du skriver så ska det gälla att a*x0 + b*y0 = 1 medan det jag skriver så gäller det att a*x0 + b*y0 = c. Därför ska inte x0 samt y0 multipliceras med c i mitt fall.

Det gäller alltså att x = c*x0 + nb, y = c*y0 - na så länge SGD(a, b) = 1 och a*x0 + b*y0 = 1. När dom inte gör det så dividerar du a, b och c med SGD(a, b). Notera att du då får nya a, b och c värden i din ekvation. Dom här nya värdena uppfyller kravet att SGD(a, b) = 1 och alltså går det att använda sig av formeln. Detta betyder inte att formeln fungerar för dom a, b och c värden du hade tidigare. Därför kan man inte säga att formeln fungerar även då SGD(a, b) > 1 så länge SGD(a, b) | c.

Vilket de gör, om SGD(a,b) är en delare till c. Som jag sa första inlägget jag skrev i citering till dig i denna tråden.

Ja just det, dum jag är, läste inte tillräckligt noga.

Ja självklart, det är till och med lika starkt som en identitet.

SGD((a/(SGD(a,b))),( b/(SGD(a,b))) är identiskt med 1.

Det har jag inte sagt heller. Men dess ekvivalenta form, vi tittar ju på den diofantiska ekvationen, inte vilka siffror som står framför x och y. Då kan vi ju för fan multiplicera med sqrt(2) och så som fån och inte fatta varför den diofantiska ekvationen inte har lösningar.

Ingen som har sagt någonsin att det är samma värde på a och b, det är också irrelevant eftersom de endast är koefficienter till två variabler av grad ett (alltså en rät linje). Den räta linjen är det som är intressant, och det är den man tittar på. Den räta linjen är likadan. Det är samma dioafantiska ekvation.

Något du inte fattar? Du börjar göra mig irriterad.

Jag gör ett sista försök att försöka förklara vad jag anser är fel i det du säger, det blir även mitt sista inlägg i denna diskussion då den mer eller mindre bygger på något missförstånd.

Om vi har att ax + by = c där det gäller att SGD(a, b) = d > 1 samt att d | c.

Nu säger du att om vi har x0, y0 så att dom uppfyller a*x0 + b*y0 = 1 så är alla lösningar till diofanten x = c*x0 + bn, y = c*y0 - an. Det stämmer helt enkelt inte, lösningarna blir x = c*x0 + bn/d, y = c*y0 - an/d.
Jag tror inte att du menar att lösningarna blir dom, men det är vad du säger.

Det som dock stämmer är om vi gör följande. Låt a = rd, b = sd, c = td där SGD(r, s) = 1.
Så får vi ax + by = c <=> (rd)x + (sd)y = td <=> rx + sy = t.
Nu har vi alltså att SGD(r, s) = 1 och vi kan använda oss av formeln så att då r*x0 + s*y0 = 1 så är alla lösningar x = t*x0 + sn, y = t*y0 - rn.

Det du gör är att du blandar ihop variablerna när du säger att det där sättet att få fram alla lösningar även gäller då SGD(a, b) är större än 1.