diofantiska ekvationer

bestämm alla par (x,y) av posetiva tal, som uppfyller 13x-14y=2
lösning:
13=7*1+6
7=6*1+1
6=6*1
alltså är SGD=1
1=7-6*1=7-(13-7)=2*7+(-1)*13
nu multiplacerar jag både ledden med 2 och får:
2=4*7+(-2)*13
alla lösningar blir:
x=4+2n
y=-2+4n
men detta är ju oändligt många lösningar, vad gör jag för fel?

För en linjär diofantisk ekvation så finns det antingen oändligt många lösningar eller ingen lösning. Så att du får oändligt många lösningar är inget fel.

Du har dock räknat helt galet, du ska lösa 13x - 14y = 2 inte 13y + 7x = 2
Sedan om x0, y0 är en lösning till diofanten ax + by = c så fås alla lösningar från x = x0 + n*b/d, y = y0 - n*a/d där d = SGD(a, b) och n är ett godtyckligt heltal.

i min bok står det:
x=cx0-nb, y=cy0+na, där ax+by=c
så det är samma sak

Jo visst, det där stämmer då det gäller att SGD(a, b) = 1 och att a*x0 + b*y0 = 1.
I detta fall är a=13 och b=-14, men du har använt dig av a = 2 och b = 4 då du angett alla lösningar.

Du glömmer att begränsa till positiva tal. Vilket villkor får du på n för att du skall ha x > 0? Och vilket villkor får du på n för att du skall ha y > 0? Detta ger en begränsning till ett ändligt antal n, varför du även får ett ändligt antal par (x, y).

Som manne skriver måste du även lösa olikheten för

x = x_0*c+-nb

och även för y.

Börja med detta:
x_0*c-nb > 0

Gör även detta:
y_0*c+na > 0

Lös ut n för båda, hitta intervallet på n. Dessa n anger då hur många positiva heltalspar den räta linjen har i den första kvadranten på det koordinatsystemet för just den räta linjen.

Skriver man 13x-14y=2 som y = kx+m

y = (13/14)x-2/14
Så kan man lättare se hur den förhåller sig i koordinatsystemet.

Det stämmer också även om SGD(a,b) är skiljt från 1, men enbart endast om SGD(a,b) är en delare till a,b,c.

Nej, du får inte alla lösningar av den där formeln som aloshi skrev om inte SGD(a, b) = 1. Sen delar ju SGD(a, b) självfallet alltid a och b.

Jo, om SGD(a,b) också är en delare till c.

Ja självfallet delar den a och b. Men om SGD(a,b) = 2 och c innehåller en multipel av två, finns fortfarande en lösning på den diofantiska ekvationen.

Ja, jag har inte sagt att ekvationen saknar lösningar om SGD är skilt från ett. Utan det jag säger är vilka lösningar som finns om det finns några.

Jag har inte sagt att du sa det heller.

Jag med, och den lösningen som du sa inte gällde, sa jag gällde och lade till ett villkor, för att den skulle gälla. Det var allt jag skrev, har du dålig läsförståelse eller vill du bara tjaffsa emot?

Jo, men som jag uppfattar det du skriver så stämmer inte det. Den formeln aloshi skrev får inte med alla lösningar då SGD är skild från 1, även om SGD delar c. Men det kanske inte är det du menar?