Linjär Algebra hjälp

Finns det någon som är bra på linjär algebra. Själv försöker jag tappert lära mig detta. Jag har en ganska enkel fråga till att börja med:

"Bestäm avståndet mellan planen x+y +z = 1
och (x, y, z) = (2, 2, 2)+t(1, 2,−3)+s(1,−1, 0)
(ON-system)."

Normalen till första planet är ju (1,1,1), och normalen till plan två skulle kunna vara kryssprodukten mellan (1, 2,−3) och (1,−1, 0), detta minns jag svagt från en föreläsning men jag minns inte varför. Om det stämmer är ju normalen till plan två (-3,-3,-3), och planen är då parallella.

Min fråga är om mina funderingar stämmer för normalen till plan två, och i så fall varför?
Och hur går jag vidare sedan?
Jag måste ju hitta skärningspunkterna för normalen i de båda planen men hur gör jag det?

Tacksam för all hälp!

Ja, det är helt riktigt angående kryssprodukten. Den är definierad så att u × v ⊥ u och v (den ger nollvektorn om u ∥ v). Därmed, om du kryssar två ingående vektorer i ett plan som ej är parallella så får du normalen. Det verkar dessutom som du har kryssat helt rätt, eftersom (1 2 −3) × (1 −1 0) = (-3 - 3 -3).

Det enklaste sättet att finna det kortaste avståndet mellan två plan som är parallella (eftersom deras normaler är lika riktade) är att skapa en linje på en godtycklig punkt på det ena planet, med riktningsvektor i planets normal. Skriv dock först om det andra planet på normalform:

Π: x +y +z = 1
Γ: (x y z) = (2, 2, 2) + t(1, 2,−3) + s(1,−1, 0) ⇒ -3x - 3y - 3z = d, och insättning av (2, 2, 2) ger d = -18. Alltså, planet är -3x - 3y - 3z = -18 ⇔ x + y + z = 6.

En linje genom Π är L = (x y z) = (1 0 0) + t*(1 1 1). När skär denna linje Γ?

Stoppa in i Γ, (1 + t) + (0 + t) + (0 + t) = 6 ⇔ 3t = 5 ⇔ t = 5/3.

Avståndet är (om jag har räknat rätt) 5/3*(1 1 1) = (5/3, 5/3, 5/3) ⇒ √(75)/3 = √(25)√(3)/3 = 5/√3 längdenheter. Annars förstår du nog principen.

när det gäller en normal till ett plan så räcker det med att finna två vektorer i planet och sedan därefter ta kryssprodukten. och två vektorer är ju de riktningsvektorer som vi får av ekvationen av plan två. jag får den till (-3,-3,-3).

jag hade faktiskt gjort så här istället:
bilda två linjer i planen, ex: om vi tar den andra planet så är en linje L_2=(2, 2, 2)+t(1, 2,−3)
sedan så kan vi ta ut en linje för den första planet.
när du har gjort det då tar du riktningsveltorerna, i ex L_2 så har vi (1,2,-3).
om du tar ut också för den första planet och bildar med dessa två riktningsvektorer kryssprodukten så får du en vektor som är både ortogonal mot L_1 och L_2. om P är en punkt i L_1 och Q en punkt på L_2, så är abselutbelopet av skalärprudokten PQ*n, där n=kryssprodukten och PQ=vektor som vi bildar med dessa två punkterna, lika med det minsta avståndet mellan L_1 och L_2. vilket är den samma för planen eftersom linjerna låg i planen

Tack för de bra svaren! Nu förstår jag!

Då har jag en fråga om vinkeln mellan två vektorer:

"Vektorn u har längd 2, vektorn v har längd 3, och vektorn u+v har längd sqrt(7). Beräkna vinkeln
mellan u och v."

Här vet jag inte riktigt hur jag skall börja.
Jag vet att: u skalär v = |u|*|v|* cos(x)

Men hur jag skall jag kunna räkna ut u skalär v utifrån detta?

Återigen mycket tacksam för alla svar !

Som sagt, u • v = |u||v|cosα och u • u = |u|². Kom ihåg att den distributiva lagen gäller för skalärprodukt.

Vi får, (u + v) • (u + v) = |u|² + 2|u||v|cosα + |v|² = √(7)² ⇔ 4 + 12cosα + 9 = 7. Nu är det bara att lösa ut vinkeln.

Tänk så lätt det är att glömma en enkel regel. Då förstår jag!!
Tack så mycket!!!!!

Hej. Hur visste du att "En linje genom Π är L = (x y z) = (1 0 0) + t*(1 1 1). När skär denna linje Γ?
" den linjen går genom planet?

Riktningsvektorn (1 1 1) är en normal till båda planen, så linjen är alltså ortogonal mot båda planen och därför måste den gå igenom båda planen.

Hur kan man hitta den där normalen?

Om du har ett plan ax + by + cz = d så är (a, b, c) en normal till planet. Har har vi ju x + y + z = 1 och eftersom koefficienterna framför x,y och z alla är 1 så blir normalen (1 1 1).

jaha, tack!

Låt 1 vara planet x + 2z = 1, och 2 planet y+z = 3, och L planens skärningslinje. Kalla punkten där denna linje skär planet x+y+z = 0. Kalla punkten där denna linje skär planet x+y+z = 0
för P. Räkna ut P och bestäm avståndet |QP| för Q = (􀀀1;􀀀1; 1).


Min fråga är, hur hittar jag dens paramterform? (rätt svar är: (x; y; z) = (1; 3; 0)+t(􀀀2;􀀀1; 1))