Beräkna impulssvar och stegsvar för överföringsfunktion

Hej!

Har ännu en uppgift som jag gärna skulle behöva hjälp med.

Antag att H(s) = (w_0n)^2 / [s^2 + 2*(sigma_p)*s + (w_0p)^2], där (w_0n), (sigma_p) och (w_0p) är konstanter.

(har gjort en Maple-screenshot av uttrycket HÄR )

Frågeställningarna är:

1. Beräkna impulssvaret med hjälp av tabell
2. Beräkna stegsvaret och derivatan av stegsvaret

Hur bör jag gå tillväga?

----------------

På första delen så har jag resonerat så här långt:

Insignal System Utsignal

X(S) H(s) Y(s)

->

x(t) h(t) y(t)

Vi är alltså ute efter y(t), impulssvaret då insignalen är en impuls, [b]x(t) = δ(t). Impulsens Laplacetransform är X(s) = 1:

->

Y(s) = H(s) * X(s) = H(s) * 1

->

y(t) = L^(-1) ( H(s) ), alltså invers-Laplacetransformen av överföringsfunktionen längst upp. Nu är det detta steg som jag har svårt för, hur skall jag gå vidare? Som uppgiften lyder så borde en typisk Laplacetransform-tabell påvisa hur man bör fortskrida, men jag lyckas ej komma vidare.

----------------

På andra delen så har jag resonerat så här långt:

Nu är vi ute efter stegsvaret y(t) då insignalen är ett stegsignal, dvs. U(s) = 1 / s.

->

Y(s) = H(s) * (1 / s), dvs.:

->

y(t) = L^(-1) ( H(s) * (1 / s) ), dvs. inverstransformera detta uttryck. Återigen tar det stopp.

Uppskattas starkt om en vänlig själ kan förklara hur man skall fortskrida!

Metoden här är oftast att man vill partialbråksuppdela uttrycket för att sedan laplaceinverstransformera varje term var för sig. (Det går bra eftersom laplacetransformen är linjär.)

Tack för svaret! Har försökt göra som du säger, men lyckas inte få något vettigt... Skulle du kanske kunna berätta hur du går tillväga? Tack!

Faktorisera nämnaren till (s+sigma)^2+(omega^2-sigma^2) sedan jämför du bråket du då får med tabellen i boken och du kommer fram till att det liknar:

Sedan beräknar du bråket med villkoret s->s+sigma_p vilket kommer att leda till att att faktorn e^-(sigma*t) skall multipliceras till h(t)

om jag läst rätt blir svaret:

omega_0n^2 / k * sin (kt)*e^-(sigma_p*t)

k=roten ur(omega_p^2-sigma_p^2) , sigma_p<omega_p

??

/ k, för faktorn k saknas i täljaren innan den inversa Laplace-transformationen.

Tack så mycket! Har åkt dit på en rejäl förkylning, mitt under ett flytt också, så är seg i skallen. Men ska försöka sätta mig med ett papper och en penna ikväll och följa din genomgång av uppgiften...

Hej igen!

Har kollat på din lösning nu, och den är garanterat korrekt (har jämfört med en klasskompis svar).
Jag tror att jag har greppat ditt resonemang (förstår inte resonemanget "beräkna bråket med villkoret s->s+sigma_p") men vill gärna att du bekräftar tankegången nedan. I min formelsamling/tabell så ser jag:

x(t) --------------------------------------------------------- X(s)

e^(a*t) * sin(w_0*t) * u(t) ---------- w_0 / [(s+a)^2 + w_0^2]

Alltså, w_0^2 motsvarar (w_0p^2 - sigma_p^2) i denna uppgift, men då detta uttryck inte existerar i täljaren (höger) måste vi multiplicera med 1 / (w_0p^2 - sigma_p^2), vilket ger oss konstanten w_0n / sqrt(w_0p^2 - sigma_p^2) framför hela uttrycket. Korrekt?

Tack på förhand! Om någon har möjlighet att förklara hur man kan beräkna stegsvaret så skulle det uppskattas starkt!

Ja. "s går mot s+sigma_p" leder till att man skall multiplicera den inversa Laplace-transformationen med e^-sigma_p, men som du ser tar din tabell upp specialfallet så du behöver inte använda det knepet.

Tex kan du lösa det mha av faltningen 1*h(t) (notera att det är ett faltningstecken * inte gånger). Läs i kursboken.

Jag suger på att falta, så försökte använda formelsamlingen igen. Jag utnyttjar det faktum att y(t) = L^(-1) ( H(s) * (1 / s) ), och att:

http://i42.tinypic.com/24vs0zk.png

Genom att göra på samma sätt som du gjorde innan (dvs. anpassa uttrycket eftersom faktorn "a^2+w_0^2" från bilden ovan saknas, dvs. dividera bort samma term). Då får jag till slut:

http://i39.tinypic.com/2uswnxz.png

Grejen är att stegsvarets derivata bör vara impulssvaret ur ditt svar (eller?). Det är kanske mina derivering-skills som suger, men det känns som om mitt stegsvar ovan inte stämmer. Har någon en idé om vart felet ligger?

Det där ser konstigt ut. Var kom Heavisides stegfunktion ifrån? Faltning är rätt väg att gå. Det enda du behöver göra i just det här fallet är att integrera h(tau) map tau från noll till t. Använd tabell över integraler så kan du inte misslyckas.

Vid stegsvaret så är insignalen ett steg...alltså är din x(t) = u(t) -> X(s) = 1/s

Sen finns en räkneregel som säger att om du har 1/s*X(s) så är det i tidsdomän integralen av x(t) från 0 till t map t. Bekvämt är ifall du räknat impulssvaret redan för då är det bara att köra integralen direkt på den.

Råkade länka fel bilder, här är "definitionen" (x(t) <-> X(s), Laplace-transformpar) från min formelsamling:

http://i41.tinypic.com/29ap4cz.png

Här är min lösning:

http://i44.tinypic.com/2ykjfxs.png

Har kollat igenom det, och det bör vara korrekt nu. Tack i alla fall för era svar!