Signalteorifråga (överföringsfunktioner etc.)

Hej!

Hoppas jag har träffat rätt (sub)forum nu. Sitter och gör en uppgift i signalteori (signaler och system), och uppgiften lyder:

Givet överföringsfunktionen H(s) = 25 / [s^2 + 2*s + 16],

där s = jω, ω = vinkelfrekvensen. Jag behöver beräkna fram det allmänna uttrycket för |H(jω)| (dvs. absolutbeloppet, amplituden) och arg(H(jω)) (dvs. argumentet, "vinkeln", fasen).

Hur bör jag gå tillväga? Man bör väl på något smart (och förmodligen skitenkelt) sätt kunna använda en övergång till polär form för att med lätthet kunna ställa upp de sökta uttrycken. All form av hjälp uppskattas starkt!

H(jω) = 25 / [(jω)² + 2(jω) + 16] = 25 / [(16-ω²) + j 2ω] = 25 [(16-ω²) - j 2ω] / [(16-ω²)² + (2ω)²]

|H(jω)| = 25 √[(16-ω²)² + (2ω)²] / [(16-ω²)² + (2ω)²] = 25 / √[(16-ω²)² + (2ω)²]
tan(arg(H(jω)) = (-2ω)/(16-ω²)

Jävligt schysst, tack så mycket! Om det inte är för besvärligt, får jag fråga dig hur du resonerade i grova ordalag? Det är speciellt det andra steget överst som jag inte förstår, varför:

(jω)² + 2(jω) + 16

skrivs om till just

(16-ω²) + j 2ω

Och varför termerna i nämnaren vid slutet kvadreras? (är det pga. multiplikation med det komplexa konjugatet?)

Tack igen!

Manne delar upp i real- och imaginärdel och förlänger sedan med konjugatet för att få nämnaren reell.

Ah, tack så mycket, börjar förstå nu! En sista uppföljningsfråga (sorry!): varför vill man få nämnaren reell? Gör man allt detta bara för att få bort de imaginära faktorerna? Har bläddrat en stund i den tjocka (och urusla) kursboken, och ej hittat ett vettigt svar på varför man utför multiplikationen med det komplexa konjugatet.

Man vill få nämnaren reell för att man då kan räkna ut absolutbeloppet. Om a, b och c är reella tal och vi vill finna beloppet av (a + ib)/c blir det ju helt enkelt (√(a² + b²))/c.

Kolla inte i kursboken för signalteori, utan repetera komplexa tal i stället.
För att utföra divisionen (x + iy) / (u + iv) förlänger man med nämnarens konjugat för att få en reell nämnare:
(x + iy) / (u + iv) = [(x + iy)(u - iv)] / [(u + iv)(u - iv)] = [(xu+yv) + i(yu-xv)] / [u² + v²]
= [(xu+yv)/(u²+v²)] + i [(yu-xv)/(u²+v²)]

Tusen tack till er båda, uppskattas väldigt starkt!

Hur får man fram vilken frekvens som ger fasen -90 grader? Tan(-90) är lite speciellt.