Matriser

A och B är två n x n matriser sådanna att E-AB är inverterbar. Visa att då är också E-BA inverterbar med inversen E+ B (E-AB)^(-1) A .

Hur ska man göra kan någon visa mig?

Visa att det där är inversen, dvs visa att (E-BA)(E+ B (E-AB)^(-1) A) = E och att (E+ B (E-AB)^(-1) A)(E-BA) = E.

(E-BA)(E+ B (E-AB)^(-1) A) = E
Kan man utveckla detta genom att multiplicera paranteser?
(E-BA)(E+ B (E-AB)^(-1) A) = E och (E+ B (E-AB)^(-1) A)(E-BA) = E är samma sak man har bara andrat ordning.

(E-BA)(E+ B (E-AB)^(-1) A) = E detta har jag redan tänkt på men jag vet inte hur jag ska gå vidare
(E-BA)(E-BA)^(-1) = E och (E-BA)(E+ B (E-AB)^(-1) A) = E
(E-BA)(E-BA)^(-1)=(E-BA)(E+ B (E-AB)^(-1) A) sen vet jag inte hur jag ska göra.

Ja, men tänk på att tex, AB och BA inte är samma sak, se nedan.


Ja, men resultatet av matrismultiplikation kan vara olika beroende på i vilken ordning multiplikationen sker. Så du måste kolla båda. (Egentligen behöver du inte kolla båda, eftersom det finns en sats som säger att om CD = E så är DC = E också, men här är det inte så mycket mer jobb att bara kolla båda, så lika bra att du gör det.)


Var noga med att skilja på det du redan vet och det du ska visa. (E-BA)(E-BA)^-1 = E vet du redan, så det får du anta, men (E-BA)(E+ B(E-AB)^-1 A) = E är det du ska visa.

Tipset är väl att bara multiplicera ut paranteserna::

(E-BA)(E+B(E-AB)^-1 A) =
= E + B(E-AB)^-1 A - BA + BAB(E-AB)^-1 A

Försök sen hitta ett smart sätt att bryta ut en faktor ur term 2 och term 4 av summan ovan.

E-BA)(E+B(E-AB)^-1 A) =
= E + B(E-AB)^-1 A - BA + BAB(E-AB)^-1 A
=E- BA + B(E-AB)^-1 A+BAB(E-AB)^-1 A

B(E-AB)^-1 A+BAB(E-AB)^-1 A=(E-AB)^-1(BA+BABA)
Är detta rätt?

Så långt allt väl.



Nej. Här byter du plats på faktorerna, du flyttar B i första termen, och BAB i andra termen, till höger om (E-AB)^-1, vilket man inte får göra.

Testa istället skriva

B(E-AB)^-1 A + BAB(E-AB)^-1 A = (B + BAB) (E - AB)^-1 A

och testa om du kan faktorisera B + BAB på ett smart sätt så att saker förenklas.

faktorisera B + BAB
(1+BA)B Nu har vi BA inom parantesen. nu kan man få fram E +BA genom att multiplicera in E i parantesen (1+BA).
(E+BA)B

Nu har jag
(E+BA)B (E - AB)^-1 A
Kan man bryta ut något mer?

Om du skriver 1 + BA har du en summa där den ena termen är en skalär och den andra en matris. Det är inte snyggt och kan t.o.m. anses felaktigt. Det är bättre att göra så här: B + BAB = EB + BAB = (E + BA)B

Det där är rätt, men som du säger så går det inte riktigt att komma vidare. Smartare är om du istället skriver

B + BAB = B(E+AB), ty då tar två av faktorerna sen ut varandra.

B(E+AB)(E - AB)^-1 A
=BA
Men vad har vi kommit fram till ?
Har vi löst uppgiften?

Nej, det har vi inte. Om du går tillbaka lite till där vi först började med uttrycket B(E-AB)^-1 A+BAB(E-AB)^-1 A:

Vi hade alltså kommit fram till att
(E-BA)(E+B(E-AB)^-1 A)
=E- BA + B(E-AB)^-1 A+BAB(E-AB)^-1 A.

Och sedan tog vi ut delen B(E-AB)^-1 A+BAB(E-AB)^-1 A, och behandlade den separat, och har nu kommit fram till att

B(E-AB)^-1 A+BAB(E-AB)^-1 A = BA.

Sätter vi in detta får vi

(E-BA)(E+B(E-AB)^-1 A) =
= E - BA + BA
= E

vilket ju var det vi ville visa! Sen så behövde vi också visa den andra delen, att

(E+B(E-AB)^-1 A)(E-BA) = E,

men det fungerar på ungefär samma sätt, så det låter jag dig försöka själv.