Vektorer

Bestäm konstanten a så att de 4 punkterna (1, 0,-2), (2,4,1), (0,1,a)
och (-1,-2, 0) ligger i ett plan.

Behöver hjälp med hur man ska tänka när man löser detta problem. Behöver inte en hel lösning utan mest hur man ska börja lösa problemet.

En strategi är att först bestämma en ekvation för planet som går igenom (1, 0,-2), (2,4,1)
och (-1,-2, 0), och sedan kolla när (0,1,a) ligger på det planet.

Det första steget kan t.ex. göras genom att du tar kryssprodukten av vektorerna som går från (1, 0, -2) till (2, 4, 1) respektive (-1,-2,0) för att få fram en normalvektor till planet. Eller så kan du helt enkelt skriva ner en generell ekvation för ett plan, typ

ax + by + cz = d

och sedan finna a, b, c, d så att just dom tre punkterna ligger på planet.

1. Skapa två vektorer mellan tre av punkterna (från (1, 0,-2) till (2, 4, 1) och (-1,-2, 0)). Nu har du ditt plan på vektorform:

(x y z) = (1 0 -2) + t(1 4 3) + s(-2 -2 2) där t, s ∈ ℝ.

2. Se till att du kan skriva en kombination av ovanstånde vektorer för att nå punkten (0,1,a) (vilket kan ses som en ortsvektor (0 1 a)). Med andra ord ska du lösa:

(1 0 -2) + t(1 4 3) + s(-2 -2 2) = (0 1 a)

Där du har tre ekvationer och tre okända (t, s och a). Lycka till.