Dual rum

Får inte ihop vissa saker som Kreyszig försöker komma fram till angående detta koncept.

Kan börja med att han skriver:

g(f) = g_x(f) = f(x)
Där x Є X är fixt samt f Є X* är variabeln.

Om vi sätter ett fixt x så kommer X* (som jag fattar det) bli ett skalärfält, eftersom vi vet vilken vektor varje funktional skall verka på.
Detta gör att g(f) Є X** nu förhåller sig till X*, som f(x) Є X* förhåller sig till X då vi har x som variabel.
På så sätt förstår jag inte hur man kan sätta g(f) = f(x) då H.L. uppenbarligen representerar en skalär medan V.L. är en funktional definierad på alla skalärer i X*.
Någon som förstår hur jag tänker?

Båda led är skalärer. Du skriver g(f) ∈ X**, vilket är fel. Det korrekta är g ∈ X**. När g verkar på f får vi en skalär, g(f) ∈ K (där K = ℝ eller K = ℂ).

Vi har alltså: x ∈ X, f ∈ X*, g ∈ X**, vilket ger f(x) ∈ K och g(f) ∈ K.

Det kan vara givande att förstå att ovanstående fungerar även då X inte är ett linjärt rum. Låt X och Y vara två mängder, där Y är ett linjärt rum (t.ex. ℝ), medan X inte behöver vara det. Mängden av funktioner f : X → Y utgör då ett linjärt rum L genom operationerna (f1+f2)(x) = f1(x) + f2(x) och (cf)(x) = c f(x). För ett fixt x, definiera nu g_x genom g_x(f) = f(x). Då blir g_x en linjär funktional på L: g_x(f1+f2) = (f1+f2)(x) = f1(x) + f2(x) = g_x(f1) + g_x(f2) och g_x(cf) = (cf)(x) = c f(x) = c g_x(f).