(svårt) geometri-problem

Det här är ett problem från en gammal matte-tävling, men som inte hade någon bifogad lösning...

Existerar det en ändlig delmängd P av R^2 som har följande egenskap:

för varje par (x,y) av punkter i P, så finns precis 2 andra punkter i P som ligger på linjen NL(x,y)

Där NL(x,y) definieras enligt:

låt först L(x,y) vara linje-segmentet som förbinder x och y, och låt sedan D vara mittpunkten på detta linjesegment. NL(x,y) defineras då som den linje som är ortogonal mot L(x,y) och som skär D.
NL(x,y) kan beskrivas som "mid-point-normal-line"

Notera att en vanlig cirkel har precis den egenskapen, men vi söker en ändlig mängd. Svaret borde vara nej, men hur visar man det?

Jag tänker mig att man börjar med två punkter, sedan måste man införa fler för att uppfylla villkoret, och för dessa måste också fler punkter införas, osv.

Ja! Ta en kvadrat, ABCD säg. Låt sedan E, F, G, H vara punkter på utsidan av ABCD så att ABE, BCF, CDG, DAH är liksidiga trianglar. Då har {A, B, C, D, E, F, G, H} den egenskapen.

Bevis: Det är inte svårt att se att det räcker med att verifiera att BG är mittpunktsnormal till AF. Men detta är sant, ty |BF| = |BA| (=sidlängden av kvadraten), och |GF| = |GA| (= 2 * sidlängden på kvadraten * sin 75°).

Sträckan AE har en mittnormal. Den ena punkten på denna är B. Vilken är den andra?

F.

Okej, håller med. Tyckte att det inte stämde, men det var nog pga en dålig skiss.

Jag hittar inga par som inte har två punkter på sin mittnormal, så lösningen verkar korrekt. Kom du på det själv, eller hittade du lösningen på nätet?

Nån gång i mitt liv har jag sett eller hört problemet förut, kommer dock inte alls ihåg var eller när.

woot, underbart, tack, jag var helt övertygad (rent intuitivt) att inte det skulle gå, och ändå hitta du en relativt liten mängd, antar att det är den minsta möjliga?

en annan följdfråga, kan man karakterisera alla mängder med denna egenskap på ett bra sätt?
Kan man hitta godtyckligt stora ändliga mängder?
finns det fler oändliga mängder än dom som ges av någon randkurva till en konvex mängd? antar att man kan ta cirklar med rationella vinklar tex...

Det törs jag inte sia om. Känns sant dock, och om det är sant borde det inte vara alltför svårt att bevisa. Jag kan visa att 4 och 5 punkter inte går.


Ingen aning.


Ingen aning.


Jo, det känns så, du kan ta två punkter och sen lägga till punkter på mittpunktsnormaler "i all oändlighet"

Låt P_0 = {2 punkter}.

Givet P_i, kontruera P_{i+1} genom att gå igenom alla par av punkter {A, B} i P_i, i tur och ordning, och för varje sådant par lägga till två nya punkter C, D på mittpunktsnormalen till AB så att:
(i) Mittpunktsnormalerna som bildas av de nya sträckorna CQ, DQ för Q någon punkt som redan finns med inte innehåller någon punkt som redan finns med,
(ii) C och D inte ligger på någon mittpunktsnormal till en sträcka mellan två punkter som redan finns med
Det finns bara ett ändligt antal punkter som failar (i) eller (ii), så det här går alltid att göra.


Nu är P_0 ⊂ P_1 ⊂ ..., så ta P = unionen av alla P_i. P har då din egenskap. Tycker att det är ganska klart att det går att välja punkterna man lägger till så att P ser ut lite hur man vill, i synnerhet kan man ganska säkert göra det på ett sätt så att det inte blir randen till en konvex mängd.

ye... hursomhelst din ursprungliga lösning räcker egentligen gott för mig för o lägga problemet på hyllan, mängderna är ju inte super-intressanta i sig, men det var en snygg lösning så tack Vad har du för utbildningsnivå inom matte förresten?

Har försökt hitta en allmän lösning till det här. Tänkte att man först låter P₀=(0,0) och P₁ =(0,1). Sedan hittar man alla P₃ som gör att (P₁-P₀) och ((P₁-P₀)/2-P₃) är linjärt oberoende. Sedan fortsätter man så och får ett ekvationssystem som går att lösa, eller har oändligt med lösningar.
Jag kanske är helt ute och cyklar. Jag tycker iaf inte som TS att det är svar nog vi fått i tråden.