Linjär algebra

Bifogar denna bild så kanske du förstår bättre angående linjers teori:

http://i43.tinypic.com/hvz7ki.jpg

Jaha, tacktack så länge. får fundera lite sen då.

1. Hur kan man beskriva en vektor när uppgiften om vektorn ser ut som en punkt/koordinat? Hur vet man hur lång den är till exempel? Isåfall borde man väl kunna: om man har en punkt, då kan man beskriva den direkt som en vektor? hurdå?

2.Men nu har jag denna uppgift då man ska hitta kortaste av ståndet mellan två linjer:

http://www.geting.se/viewimage.php?i...ra_2Linjer.jpg

Det jag har problem med är att jag inte kan förstå det geometriskt.

Varför skapar man en godtycklig vektor t ex?
Hur vet man att vektorn ML*tak* är mellan linjen?
Det var tydligen inte att addera de båda ekvationsystemen. något annat var det.

Kul, du läser alltså Matematik H vid LiU? Det gjorde jag också där jag egentligen fick min första förståelse för Linjär Algebra. Är det fortfarande Peter Holgersson som är examinator?

Hursomhelst, till dina frågor:

1. Ja, om du har en punkt i ett koordinatsystem (i det här fallet underförstått att vi talar om ON-basen R³) kan vi beskriva den som en ortsvektor, där vi har dragit en vektor från origo till denna punkt. Det finns en skillnad i vad de representerar, en punkt är alltid en punkt medan en vektor är något som har både riktning och längd. Så ja, har du en punkt kan du indirekt beskriva den som en vektor även om de inte är samma saker.

2. Du skapar en godtycklig vektor mellan linjerna eftersom du ännu inte vet hur den är riktad. Allt vi vet är att det finns ett minsta avstånd mellan dessa linjer, och detta måste ju kunnas beskrivas av en vektor som både har riktning och längd. Vi drar då alltså en vektor mellan två godtyckliga (okända) punkter på linjerna L och M och kallar denna vektor ML.

Förra året hade Peter Holgersson kursen sa vår nya lärare. Han fick annat att göra. Kompendiet är ju lite halvprimitivt men ändå skapligt.

2. Men hur fick man fram ML = ... ?
Hur får man fram en godtycklig vektor som är mellan linjerna? Hur vet man att vektorn är mellan linjerna? Hur ser man att en vektor ligger mellan linjerna?
Två saker jag tänker mig:
I: Man har helt enkelt L + M och får fram vektorn ML (som då ligger mellan linjerna). Men det stämmer ändå inte efterssom (1 + 0s) + (1 + 2t) ≠ -2t

II: Man kanske har en speciell metod/formel (som jag märkt man har i många fall, t ex projektionsformeln, avståndsformeln ect.)

III: finns det kanske ett tredje alternativ?

Så hur för man fram en godtycklig vektor som ligger mellan linjerna? (alla vektorer ligger ju inte mellan linjerna)

Vi har linjerna:

L: (x y z) = (2 1 0) + s*(1 0 -1)
M: (x y z) = (0 1 -2) + t*(0 2 -1)

Som även kan skrivas:

L:

x = 2 + s
y = 1
z = -s

M:

x = 0
y = 1 + 2t
z = -2 - t

Med dessa ekvationer når vi precis alla punkter på våra linjer. Att skapa en godtycklig vektor mellan dessa två linjer är ekvivalent att vi drar en vektor mellan två godtyckliga punkter (eller två godtyckliga orsvektorer).

OL - OM = (2 + s, 1, -s) -(0, 1 + 2t, -2 - t) = (2 + s, -2t, -s + t + 2)

Anledningen att jag har satt komma (,) emellan är så att man tydligare kan se hur vektorn är uppbyggd.