Linjär algebra

1. Vad betyder Linjär algebra och vad är det? Vad ska man tänka på till exempel?

2. Hur löser jag denna:
Bestäm ortogonalprojektionen R som uppstår då punkten P = (0,0,1) projiceras i planet Π: x + 2y -z + 4 = 0.
Jag provade. Av någon anledning ska man ha med t. Men vad är tför något? Och när har man s?

1. Linjär Algebra är en gren av matematiken där man håller på med vektorer, vektorrum, matriser, linjära avbildningar och så vidare. Man ska tänka på att det faktiskt är väldigt rolig och intressant matematik, och att man ska försöka rita så mycket som möjligt och förstå allting grafiskt.

2. Du har planet Π = x + 2y -z + 4 = 0 och punkten P = (0,0,1). Du kan göra den här på lite olika sätt och jag presenterar ett av dem. Vill du har fler tips, hojta till. Skapa först och främst en linje, L, som går i planets normals riktning och börjar i punkten P.

L = (x y z) = (0, 0, 1) + t*(1 , 2 , -1)

För vilket t sammanfaller linjen och normalen? Linjen kan skrivas som:

x = t
y = 2t
z = 1 - t

Stoppa in i planets ekvation och lös för t.

(t) + 2(2t) - (1 - t) + 4 = 0

t = -1/2

Sätt in t i linjen L:s ekvation för att få ut punkten.

L = (x y z) = (0, 0, 1) - 1/2*(1 , 2 , -1) = (-1/2, -1, 3/2)

Där har du den ortogonala projektionen om jag inte har räknat fel (om jag har det kan du säkert räkna rätt åt mig).

Kan man göra på något sätt utan t? jag förstår inte var man får t ifrån
T ex med projektionsformeln eller den andra där det var U*ortogonal*N=U*paralell*n - U

Kan förklara lite mer. Vad man gör där är i princip att sätta linjen=planet så att man får fram där linjen träffar planet. Man stoppar in linjens koordinater i planet och ser vilket t som uppfyller dem, och där skär linjen planet.

t brukar f.ö. vara en godtycklig variabel som ger en sorts frihet. (1 2 3)+t*(5 0 7) är en linje som går genom punkten (1,2,3) och sträcker sig oändligt långt i riktningen parallell med vektorn (5 0 7). Däremot är (1,2,3) bara en punkt; den har ingen variabel (brukar kallas att den inte har någon frihetsgrad) och har därmed ingen utbredning i rummet.

Variabeln behöver inte vara t, man använder ofta t.ex. r och s också, men det kan i princip vara vilken variabel som helst. Ska man vara ordentlig skriver man: t∈ℝ efteråt så att det är tydligt att t är en godtycklig variabel.

Ja, det skulle du kunna göra. Dra en vektor från någon punkt som ligger i planet, som vi kallar Q, exempelvis (0, -2, 0) till vår punkt P.

QP = (0, 0, 1) - (0, -2, 0) = (0, 2, 1)

Projicera vektorn i planets normal med hjälp av projektionsformeln.

p = (u|n)/(n|n) * n

Och då får jag p = (1/2, 1, -1/2)

Vektoraddition ger oss våran projektion, vår vektor QP - p ger oss projektionen.

(0, 2, 1) - (1/2, 1, -1/2) = (-1/2, 1, 3/2)

Här fick jag dock ett litet fel, hade ett minustecken i den andra lösningen så något litet teckenfel har smugit sig in någonstans. Men eftersom du antagligen vet vad lösningen är så kommer du nog hitta det utan problem. Måste kila nu, men om du har några frågor kan säkert Offsure svara på dem.

mm! tacktack så länge.

1. Men vad är t egentligen? Hur tolkas det geometriskt till exempel? Är det ett avstånd?

2. Hur skriver man punkt, koordinat och en vektor?
Punkt är väl något med P=(0,1,-2)?

3. Här är en uppgift:
Genom punkterna Q = (1,0, 2) och R = (2,2,-1) går en rät linje. Bestäm det minsta avståndet mellan den räta linjen och punkten P = (-1,1,1)
Svar: d = (√1050)/(14)

Man ska väl först räkna ut vektorn u. Men hur vet man om man tar Q -R eller R - Q? Jag brukar ta i ordningen som det står i uppgiften bara. Q - R.
Då verkade det bli:
/-1\
l-2 | = u
\ 3 /

(skojiga parenteser jag gjorde... ^^, tips på bättre?)

Hur gör man sen då när man fått u? Ska man använda sig av projformeln och den andra u*ortogonal*n=u*paralell*n - u?

Eller t på något sätt bara?

1. Det representerar bara en siffra, som anger hur långt man har stegat i den vektorns riktning.

3. Det spelar ingen roll i vilken ordning du tar, det kommer ändå att bli samma riktning oavsett (det enda som skiljer dem är en faktor -1).

Då får du u = (1 2 -3) och du kan beskriva din linje som:

L = (x y z) = (1 0 2) + t*(1 2 -3)

och här anger (1 0 2) en ortsvektor, alltså en vektor från origo till Q och OQ = (1 0 2) som hjälper oss att orientera oss i rummet. Nu undrar vi, vad är det minsta avståndet mellan denna linje och punkten P = (-1, 1, 1)?

Börja med att skapa en vektor mellan punkten P och en godtycklig punkt på linjen L.

v = OL - OP = (1 + t, 2t, 2 - 3t) - (-1, 1, 1) = (2 + t, 2t - 1, 1 - 3t)

För att det ska vara kortaste avståndet måste (v | u ) = 0.

((2 + t, 2t - 1, 1 - 3t) | (1 2 -3)) = 0 ⇔

2 + t + 4t - 2 - 3 + 9t = 0

t = 3/14

Vi kan nu sätta in t = 3/14 i v och avståndet är |v|.

|v| = |(2 + 3/14, 2(3/14) - 1, 1 - 3(3/14))| = (√1050)/(14) ≈ 2.3145...

Alternativt, dra en vektor från en godtycklig punkt på linjen till P.

v = OP - OL = (-1 1 1) - (1 0 2) = (-2 1 -1)

Sen kan du göra lite olika saker för att få fram det kortaste avståndet mellan P och linjen.

1. Projicera på v på linjens normal, längden av projektionsvektorn som uppkommer blir det kortaste avståndet.

2. Projicera v på linjens riktningsvektor, projektionsvektorn w som uppkommer kan du använda i vektoradditon för att få fram det kortaste avståndet.

Vad händer här? Är det ett ekvationssystem?
v = OL - OP = (1 + t, 2t, 2 - 3t) - (-1, 1, 1) = (2 + t, 2t - 1, 1 - 3t)
Var är punkterna Q och R?

Kunde man inte lösa ekvationsystemet direkt?
L = (x y z) = (1 0 2) + t*(1 2 -3)
Eller vad gör du med det sen?

Vad händer här och vad får du v ifrån?
|v| = |(2 + 3/14, 2(3/14) - 1, 1 - 3(3/14))| = (√1050)/(14) ≈ 2.3145...

Jag skapar en vektor från en godtycklig punkt på linjen L till punkten P. Kom ihåg, linjens ekvation är:

L = (x y z) = (1 0 2) + t*(1 2 -3)

Vilket kan skrivas som:

x = 1 + t
y = 2t
z = 2 - 3t

Detta är alla punkter som finns på linjen, och vi drar då en vektor mellan en godtycklig punkt på denna linje till vår kända punkt P. Jag kallar denna vektor v.

Vilket ekvationssystem? Jag konstaterar att (v | u) = 0 och löser för t. Därmed kan jag stoppa in i vår vektor v. Läs igenom mitt inlägg noggrant en gång till.

Hmm, men alltså:

u = (1 2 -3) är linjen mellan punkten p och q?
Men sen är linjen också L = (x y z) = (1 0 2) + t*(1 2 -3)) ?
Den är två linjer på en gång alltså? Två som beskriver samma sak?

Varför använder vi oss aldrig av R = (2,2,-1) ?


Men hur kan man ta en godtycklig punkt på linjen? Hur vet man att den är närmast punkten P?


Tack för att du hjälper och förstår att alla har olika lätt för sig att förstå!
tacktack!

En linje består av två kompontenter inom den Linjära Algebran, en ortsvektor som orienterar linjen i rummet (fäster den vid en speciell punkt) och en riktningsvektor som berättar i vilken riktning linjen sträcker sig i. Vi har två punkter, Q och R som vi vet att linjen går igenom. Utifrån dessa skapar vi riktningsvektorn u.

u = OR - OQ = (2 2 -1) - (1 0 2) = (1 2 - 3)

Vi tar en av dessa ortsvektorer för att kunna orientera linjen i rummet:

L = OQ + t(OR - OQ) = OQ + t*OR = (1 0 2) + t*(1 2 - 3)

Annars hade linjen gått genom origo och legat helt fel!

En godtycklig punkt på linjen kan vi få eftersom vi känner till dess ekvation helt enkelt. På samma sätt som (1 0 2) + t*(1 2 - 3) är vilken punkt som helst på linjen (eftersom t får vara alla reella tal) är ju:

x = 1 + t
y = 2t
z = 2 - 3t

Dock med en liten annan framställning. Skapar vi en vektor v mellan en godtycklig punkt på linjen L och punkten P har vi en vektor mellan desa. I det här fallet, för att det ska handla om det kortaste avståndet måste vektorn v vara ortogonal mot linjen L. Jämför med att du står på en sida av väggen i ett rektangulärt rum, vilket är det närmsta vägen för att nå till den andra väggen mittemot? Jo, självklart den ortgonala (vinkelräta) vägen sett utifrån väggen.

Att en vektor är vinkelrät mot en linje är samma sak som att det är vinkelrät mot dess riktningsvektor. Därför för att få det kortaste avståndet gäller att (v | u) = 0 där u är linjens riktningsvektor och v är denna vektor vi just tog fram.