Kardinalitet (olika stora oändligheter), greppar inte riktigt.

Alltså, både ℕ och ℝ har ju oändligt många element, men |ℝ| > |ℕ|. Det är därför diagonal-beviset fungerar - du kan omöjligen tilldela ett naturligt tal till varje element i en ouppräknelig mängd.

Ett enklare exempel är att du tänker dig en binär sträng S som består av |ℕ| bits - det finns således 2^|ℕ| permutationer men du kan enkom indexera |N| stycken med ett unikt n ∈ ℕ.

Ja, det nya talet kan inte skapas i ett ändligt antal steg. Det är alltså en oändlig process, och torde därför ogillas av intuitionisterna

Det känns mycket som ett cirkelresonemang. Du utgår från |ℝ| > |ℕ|, vilket bevisas genom diagonalförfarandet, för att förklara vad som händer i diagonalförfarandet. Och 2^|ℕ| har du inte definierat, än mindre visat att |ℕ| < 2^|ℕ|, vilket du ändå hänvisar till.


I så fall ogillar de väl alla oändliga mängder, däribland ℕ? De borde alltså inte kunna utföra särskilt mycket intressant matematik överhuvudtaget...

Men behöver man verkligen "skapa" talet en siffra i taget? Handlar det inte snarare om att välja ut ett redan existerande tal ur en mängd?

Vad det där matrisargumentet gör formellt är att visa att det finns en injektion f från NxN till N via:

n:=f(x,y)

Där f(x,y) indexerar elementet (x,y) i NxN med talet n=(x^2+y^2+xy+3x+y)/2

Q kan bäddas in i NxN, men inte dom irrationella talen.

Jag har svårt att svara på varför "stoppa in irrationella tal i oändligheten o räkna på samma sätt" inte fungerar, eftersom det är svårt att förstå vad det betyder, även med ditt förtydligande, hur hade du tänkt dig att indexeringen av dom "nya" irrationella talen skulle ske? -om du slänger in irationella tal i "slutet" på varje rad så måste såna irrationella tal få nåt naturligt tal till index, oändligheten är inget naturligt tal. Men du kan inte ge dom nåt index som inte redan upptas av f, eftersom f är en bijektion. Det du kan göra är att shifta värdena på f och sen ge vissa irrationella tal index i N, men det bevisar inte att du fått med alla irationella tal...

Skrev fel, menade såklart irrationellt tal. Eftersom man tagit med oändligt många irrationella tal måste man ju tagit med alla och då går det ju inte skappa ännu ett till eftersom man som sagt tagit med oändligt många?

Bara för att man har tagit med oändligt många element från en mängd, betyder inte det att man har tagit med alla talen.

Om du tar alla heltal utom talet 0 har du oändligt många tal, men du har inte fått med talet 0.
Om du tar alla jämna heltal har du oändligt många tal, men de udda har du inte med.

Vad händer om man definierar Q = ¬P (och därmed ¬Q = P), antar Q, får motsägelse och därför drar slutsatsen ¬Q? Vilket av dessa steg är inte acceptabelt i intuitionismen?

Och hur bevisar man då att det irrationella talen är fler än det rationella talen?

Båda stegen är accepterade, men däremot anser man inte att ¬¬P är ett bevis av P. Lagen om det uteslutna tredje gäller helt enkelt inte.

Hur många gånger skall det behöva upprepas? Cantors diagonalmetod!

Metoden:

• Antag att de reella talen är uppräkneliga och att vi har en uppräkning av alla reella tal.
• Påvisa ett de reella talen som inte kan finnas med i uppräkningen.
• Dra slutsatsen att antagandet var falskt och de reella talen inte är uppräkneliga.

Nja, N är jag ganska säker på att de accepterar. Givetvis inser de ju att det finns oändliga mängder. Det är ju när man börjar dribbla med oändligheten i bevisföringen som de sparkar bakut. Finns nog en hel del intressant matematik dessa intuitionister kan ägna sig åt, men de är lite märkliga, och de begränsar definitivt matematiken. Deras (betydligt mer korkade) motsvarighet åt andra hållet, det är de så kallade cirkelkvadrerarna. Men kännetecknande för dessa är ju att de ofta har väldigt ringa kunskaper i matematik och är väldigt känsliga för kritik. De påminner om små barn som håller för öronen när något inte går som de vill, och sedan ropar dem och för oväsen: "Jag hör inte vad du säger. Jag hör inte vad du säger"

Ja, man kan ju säga att man väljer ut talet ur en mängd. Men talet som man väljer ut i detta fall har ju egenskaper som endast kan förklaras som en oändlig process. Och intuitionisterna kräver ju ändliga processer i bevisföringen, då tolkar jag det som att de inte skulle acceptera ett sådant tal i något bevis

Leopold Kronecker som var föregångare till intuitionisterna, han accepterade ju inte begreppet "transfinita tal". Då vore det ju högst anmärkningsvärt om han accepterade diagonalförfarandet. För diagonalförfarandet går ju ut på att jämföra två olika transfinita tal och visa att det ena är större än det andra

"Most modern constructive mathematicians accept the reality of countably infinite sets (however, see Alexander Esenin-Volpin for a counter-example)."

http://en.wikipedia.org/wiki/Intuiti...m_and_infinity


De flesta intuitionister verkar acceptera oändliga processer (potentiell oändlighet).

"Finitism is an extreme version of Intuitionism that rejects the idea of potential infinity."

"The term potential infinity refers to a mathematical procedure in which there is an unending series of steps. After each step has been completed, there is always another step to be performed. For example, consider the process of counting: 1, 2, 3, …"

http://en.wikipedia.org/wiki/Intuiti...m_and_infinity


Vad är det för mening med att blanda in en som inte ens accepterar förutsättningarna i diskussioner om acceptans av beviset?