Linjär Algebra (skalärprodukt och Gram-Schmidt)

Hej, sitter med två problem som jag inte lyckas lösa, den ena förstår jag inte och den andra får jag inte fram rätt svar på.

1.

Visa att

<f,g> = ∫ f(x)g(x)dx från -1 till 1

definierar en skalärprodukt R[x]_2. Detta har jag gjort, den enda frågan jag har här är om symmetri krävs eller om det endast underlättar att visa bilinjäriteten och att för man ska ha en skalärprodukt är det enda som krävs att den är bilinjär respektive positivt definit?

Den andra delen på uppgiften ska man bestämma projektionen av f(x)=x^2 på underrummet R[x]_1 m.a.p. skalärprodukten ovan. Vad menas med detta?

Tack i förhand!

2.

Man ska bestämma en ONB till delrummet M, jag har räknat problemet säkert tio gånger men strandar alltid på den sista skalärprodukten när jag ska testa att de är ON

Här har man följande fem vektorer som spänner upp en rummet M som är en delmängd till R.

u_1 = (2 1 1 1)^t, u_2 = (1 1 0 0)^t, u_3 = (3 1 2 2)^t, u_4 = (1 1 1 0)^t, u_5 = (1 0 -2 1)^t

M.h.a. Gausseliminering får jag fram att u_1, u_2 och u_4 är en bas i M. När jag sedan bestämmer ONB har jag:

w_1 = u_1/|u_1|=1/√(7)*(2 1 1 1)^t

w_2 = u_2 - (u_2,u_1)/(u_1,u_1)*u_1 = (1 1 0 0)^t - 3/7*(1 4 -3 -3) och w'_2 := 7w_2 = (1 4 -3 -3)

w_2 är OK då (w_1,w_2) = 0, dvs. ortonormerade. Sedan har jag att

w_3 = u_4 - (u_4,u_1)/(u_1,u_1)*u_1 - (u_4,u_2)/(u_2,u_2)*u_2 =
= (1 1 1 0)^t - 4/7*(2 1 1 1)^t - 2/35*(1 4 -3 -3)^t = 1/35*(-6 11 18 -17)^t

w'_3 = 35*w_3 = (-6 11 18 -17)^t

Test av w'_3:

(w'_3,w_1) = 0 men (w'_3,w'_2) = konst.*((1 4 -3 -3)^t,(-6 11 18 -17)) = konst.* (-6+44-30-26+30+21) ≠ 0, dvs. w'_3 och w'_2 är inte vinkelräta.

Varför blir det så? Det är samma skalärprodukt som krånglar om och om igen och det känns bara värre av att allt annat fungerar.

Tack i förhand!

Den definition jag är van vid är den som man bland annat kan läsa här: http://planetmath.org/encyclopedia/InnerProduct.html
Dvs

1. linjär i första argumentet,
2. ⟨a,b⟩ = ⟨b,a⟩* och
3. ⟨a,a⟩ är noll omm a = 0, annars är ⟨a,a⟩ reell och positiv.

I denna uppgift antar inre produkten endast reella tal, vad jag förstår, så punkt två blir ⟨a,b⟩ = ⟨b,a⟩, vilket tillsammans med punkt ett ger bilinjäritet, men jag kan inte se att man kan göra sig av med symmetrikravet. Du måste nog behålla det.


Det betyder nog att du ska se f som en summa, f = f₀ + f₁, där f₀ ligger i underrummet och f₁ är ortogonal mot varje vektor i underrummet. Den sökta projektionen är då f₀.

Jag tror det är här det blir fel. Du skapar w₃ genom att utgå från u₄ och sedan dra bort det u₄ "har gemensamt" med u₁ och u₂. Så bör du inte göra för eftersom u₁ och u₂ inte är ortogonala mot varandra kommer en korrektion för den ena att förstöra för den andra. Utgå i stället från u₄ och dra bort det u₄ "har gemensamt" med w₁ och w₂ eftersom dessa två redan är ortogonala mot varandra och därför inte påverkar varandra.

f(x) och g(x) är väl reella funktioner? Vilket ger <f,g> =∫ f(x)g(x)dx =∫ g(x)f(x)dx = <g,f>.

Vet inte vad de menar med underrummet R[x]_1? Kanske menas g(x)=|x| (L1-norm med ∫ g(x) =1 på intervallet [-1,1]). För att sedan få projektionen, beräkna integralen ∫ x^2 |x|dx på [-1,1].

Jag antar att R[x]_n = { p(x) | p polynom av grad högst n och med reella koefficienter }

R[x]_2 innehåller alltså polynom av grad högst 2, bl.a. f(x) = x², medan R[x]_1 innehåller polynom av grad högst 1, bl.a. g(x) = x+3.

Precis vad jag menade Jag brukar alltid upphöja min föreläsares beteckningar till praxis, kanske lite dumt med tanke på att han betecknar t.ex. enhetsmatrisen med E.

Tyvärr har jag bara skrivit fel när jag överfört mina anteckningar till internet. Egentligen har jag satt

w_3 = u_4 - (u_4,u_1)/(u_1,u_1)*u_1 - (u_4,w'_2)/(w'_2,w'_2)*w'_2

u_1 och w_1 har ju samma riktning så det spelar ingen roll för w_3:s riktning vilken jag nu väljer.

Kolla att nu normerat vektorerna, exempelvis ||w_2|| är inte 1 vad jag kan se. Detta skall dock inte på verka ortogonalitetsvillkoret, då du dividerar med normen i kvadrat, om du inte felaktigt skippade det i tron om att ||w_2||=1. Annars har du nog gjort slarvfel, jag får