Gradtal på karaktäristiskt polynom till en n x n matris

Uppgiften lyder:


Jag har suttit och klurat på kammaren och sett att när man utvecklar determinanter av olika storlekar får man faktorer av typen (konstant-egenvärdet) i ett antal som motsvarar n. Vilket ger ett polynom med gradtalet n.

Men tyvärr lyckas jag inte göra något allmängiltigt bevis av det. Någon som kan hjälpa?

Använd induktion och kofaktorexpansion kanske? Antag att polynomet för alla kxk-matriser har grad k. Titta på en (k+1)x(k+1)-matris A och kofaktorutveckla A-λI längs någon rad/kolumn. Den ledande termen är av formen (a-λ)*det(B-λI) där B är en k x k-matris och av induktionsantagandet har vi alltså ett polynom av grad k gånger ett polynom av grad 1 vilket ger ett polynom av grad k+1. Det gäller bara att snygga upp beviset lite. Glöm inte basfallet.

Du kan också direkt använda definitionen av determinant som en alternerande summa av produkter från rader/kolumner. I en produkt tar man ju element från unika rader/kolumner, således kan du max skapa x^n. Det enda sättet att skapa detta är ju även att ta alla element från diagonalen, vilket kommer resultera i en term (a11-x)(a22-x)...(ann-x) vilket ju kommer ge en icke noll koefficient framför x^n, så graden blir n. Det här får man nog också snygga till lite.

Verkar som ett attraktivt förslag. Skall ta ett tretimmars brottningspass med den varianten i helgen.



Varmed avses determinantutvecklingen av k x k matrisen?

Tack

Ska tänka på den. Men den känns som jobbigare än Evolutes variant.

Bevisa att det gäller för en 1x1-matris (vilket är trivialt).

Tack för den också. Det står att man skall göra så i kokboksreceptet för induktionsbevis i matteboken. Men jag hade nog missat det i alla fall.