optimering på ickekompakta mängder

Tycker det är så knepigt med kontinuitet och kompakta mängder etc, så jag är ofta osäker på vad man får göra och vad som är ett korrekt tillvägagångssätt.

Bestäm max/min som f(x,y) = (x+y)e^-(x^2+y^2) antar då x≥0 och y≥0.

Man kan börja med att konstatera att f ej kan vara negativ och att det minsta värdet då måste vara 0. Granskar man f(x,0), f(x,y), f(0,y) när x respektive y går mot oändligheten kommer f gå mot 0. För mig känns det naturligt att ett maxvärde måste finnas i den kompakta delmängden K = {(x,y); 0≤x≤1 och 0≤y≤1}. Deriverar jag f partiellt får jag fram ett maxvärde i x = y = 1/2 som ger f = e^-(1/2) (skriver inte ut uträkningarna för randen av K). Men jag antar att jag måste visa att f är uppåt begränsad och mindre än f(1/2, 1/2) när jag kommer utanför K men är kvar i definitionsmängden. Kan jag då t.ex. göra uppskattningarna f(x,0) = x/e^(x^2) ≤ e^-x ≤ e^-(1/2) då x > 1, och likadant för y? Är detta ett korrekt sätt att lösa det på, och/eller finns det något bättre sätt att göra det på?

[quote=muminporr]Tycker det är så knepigt med kontinuitet och kompakta mängder etc, så jag är ofta osäker på vad man får göra och vad som är ett korrekt tillvägagångssätt.

Bestäm max/min som f(x,y) = (x+y)e^-(x^2+y^2) antar då x≥0 och y≥0.


Minsta värdet måste inte vara 0 bara för att f ej kan vara negativ. Funktionen g(x) = 1+x² kan inte vara negativt (för reella x förstås) men har 1 som minsta värde. Men, eftersom f antar värdet 0 i (x, y) = (0, 0), som tillhör området, och f inte kan vara negativ, måste 0 vara minimum.


Var försiktig med att dra sådana slutsatser utan att ha något konkret att bygga dem på.


Verkar vara korrekt.


I så fall visar du bara att f är begränsad på randen. Men den kan ju vara obegränsad utanför randen, såsom g(x, y) = xy.

Du kan utnyttja kunskap om att funktionen h(x) = x e^(-x²) är begränsad med maximum (1/√2) e^(-1/2):
f(x, y) = (x+y) e^(-(x²+y²)) = x e^(-(x²+y²)) + y e^(-(x²+y²)) ≤ x e^(-x²) + y e^(-y²)
≤ (1/√2) e^(-1/2) + (1/√2) e^(-1/2) = √2 e^(-1/2).

Givetvis var det det här jag menade, kanske inte var så tydlig när jag skrev det.

Borde det inte gå att göra ett sånt här antagande, hitta max/min på den kompakta mängden och sen undersöka vad som händer när man går utanför den?


Här hänger jag inte riktigt med. Varför visar jag bara att den är begränsad på randen? Sen förstår jag inte begränsningen du har gjort, begränsningen du visar är ju större än maxvärdet?

Jo, du kan förstås visa att värdena utanför det begränsade området är lägre än det du hittat inne i området. Men att skriva "För mig känns det naturligt att ett maxvärde måste finnas i den kompakta delmängden K = {(x,y); 0≤x≤1 och 0≤y≤1}" är inte vetenskapligt.


Det gör jag inte. Olikheten gäller för alla x och y i första kvadranten.


Okej, här kan jag hålla med om kritiken. Jag visar visserligen att f är begränsad, men jag visar inte att f inte växer mot ett ändligt värde som är större än det interna maximum vi har hittat.


Nytt försök...

Det gäller att x ≤ √(x²+y²), så x + y ≤ 2√(x²+y²). Detta medför att
0 ≤ f(x, y) = (x+y) e^(-(x²+y²)) ≤ 2√(x²+y²) e^(-(x²+y²)) = { r = √(x²+y²) } = 2 r e^(-r²)
Eftersom 2 r e^(-r²) → 0 då r → ∞ gäller enligt instängningslagen för gränsvärden att f(x, y) → 0 då r = √(x²+y²) → ∞.
Därmed måste maximum antas i det inre av området, och eftersom funktionen är differentierbar överallt måste det ske där f'x = 0 = f'y.

Här tror jag att du misstolkade mig. Jag frågade varför mitt tillvägagångssätt endast var bevis för att f var begränsad på randen och inte på hela definitionsmängden. Är det för att jag sätter y, respektive x = 0 i uppskattningarna?


Jaha okej, nu förstår jag! Tack för hjälpen, det uppskattas verkligen.

Jag verkar vara litet disträ idag och varken läser eller tänker ordentligt.

Du har kanske förstått var problemet ligger. Du visar att f(x,0) ≤ e^-(1/2) då x > 1 och då visar du bara att f är begränsad på en del av x-axeln. Men som exemplet g(x, y) = xy visar, kan funktionen växa obegränsat även om den är begränsad på axlarna:
g(x, 0) = 0 och g(0, y) = 0 är klart begränsade, men g(t, t) = t² växer obegränsat.