Gravitation innuti planeter...

Hej!

Jag har funderat ett tag hur gravitationen verkar inuti planeter...

Låt oss säga att vi tar en jättestor borr och åker till månen och borrar ett jättestort hål från månytan ner till centrum. Hur skulle dragningskraften påverkas på färden ner i månens innersta? Skulle den öka, eller skulle den minska?

Som jag tror det hela, så borde det inte finnas någon dragningskraft alls... om man befinner sig i absolut i centrum, så är man tyngdlös, men utanför detta centrum så finns dragningskraft som pekar mot centrum. Detta borde väl betyda att man kan "fastna" i centrum, eller?

Eller är det som så att dragningskraften är så stark där att man krossas?

Om man antar att planeten är perfekt sfärisk och har jämn densitet ρ kan man betrakta den som uppdelat i ett sfäriskt skal och ett mindre klot. Innanför ett sfäriskt skal finns ingen resulterande kraft på grund av skalet (bevis). Antag att man är på avståndet r från mittpunkten så det mindre klotet har radie r.

Ifall planetens radie är R är den totala massan M=ρ4πR³/3 och det mindre klotet har massa m_k=ρ4πr³/3 (notera att m_k är en funktion av r). Ur detta fås att m_k=M·(r/R)³. Newtons gravitationslag ger därefter att en massa m påverkas av kraften F=Gm·m_k/r². Sätts m_k in fås att

F=GmMr/R³,

alltså är kraften direkt proportionell mot avståndet från planetens mittpunkt. Kraften är därför noll i mittpunkten.

dvs, om du befinner dig vid mittpunkten har du inte ett enormt tryck från alla håll, utan ren bara ren tyngdlöshet? pajar inte det hypotesen (eller faktumet) om planeter järnkärnor, etc?

då ditt inlägg i övrigt var väldigt detaljerat bör jag nog reservera mig för att jag inte förstod vad du menade, kanske.

Menar du inte direkt omvänt proportionell mot avståndet? Om radien ökar så minskar ju kraften. Således bör den väl vara störst i mitten när det blir R = /0,00000000...1 och nära på oändlig kraft?

Tryck och kraft är dock inte samma sak. Krafter är vektorer som kan ta ut varandra medan tryck är en skalär utan riktning. I jordens centrum är den totala gravitationskraften teoretiskt noll, men trycket är väsentligen ett mått på hur pass mycket materia man har ovanför sig och det ökar när man rör sig in mot planetens centrum. Även om materian nära jordens centrum påverkas av en allt mindre gravitationskraft när man rör sig inåt så har vi fortfarande all materia vid ytan som "trycker på" och bidrar till det stora trycket i centrum.

Jag gjorde förr en gång en liten härledning av hur trycket ökar inuti en planet med konstant densitet (en ganska dålig approximation, men det visar i alla fall att trycket ökar in mot centrum.)

https://www.flashback.org/sp12550128

Kan man verkligen använda denna formel innuti planeter? Ska man inte använda denna i universum, dvs att man ser planeterna som punkter i rymnden.

En möjlig modell av verkligheten borde väl vara att man delar in planeten i en massa skivor (precis som man skivar en limpa). Om man befinner sig på halva avståndet till centrum, så borde ju de skivor som ligger "bakom" mig dra mig från centrum, men de skivor som ligger "framför" mig borde ju dra mig mot centrum.

Om man tänker sig att man lägger jorden på positiva x-axeln, med nordpolen på x = 0 och sydpolen på x = 2r (radien = r), så får man väl jordens yta f(x):

xx + yy = 4rr

f(x) = sqrt(4rr - xx)

Sedan ska vi räkna ut vad en skiva väger som g(x). Jordens desitet är D och tjockleken per skiva är dx.

g(x) = f(x) * 2 pi * D * dx

Men sedan går jag bet... jag vet att man borde kunna använda någon integral. Det var 10 år sedan jag pluggade matte, och det där med integraler rör till det i huvudet på mig...

Men tanken är att man ska kunna subtrahera summan av kraften från alla skivor "bakom" mig och "addera" summan av alla krafter framför mig, och detta borde väl gå att göra med hjälp av integral.

Har ni inte läst Kalle Anka? När det spills ut lösidrös färdas det neråt genom jordskorpan och blir sedan hängande i viktlöst tillstånd vid jordens centrum där Kalle måste fiska upp det i diamantburken igen.

Nej. Ovanför jordens yta (där jorden kan betraktas som en punktmassa) avtar gravitationskraften med kvadraten på avståndet, men detta gäller dock inte inuti jorden. Detta beror på avsaknaden av resulterande kraft inom sfäriskt symmetriska massfördelningar som jag skrev om i mitt första inlägg. På svenska betyder detta att jordmassan runt dig kommer att dra dig lika mycket åt alla håll samtidigt, oavsett var i hålrummet du befinner dig.


Det verkar som att du inte har läst mitt inlägg. Gör det och ifall något är otydligt förklarar jag gärna en extra gång.

Precis vads jag tänkte på. Här är serien för de som vill förkovra sig i intraterrestrial fysik: http://disneycomics.free.fr/Ducks/Ro...ate&loc=D94066

Kan bara kort fylla i att detta fenomen att krafterna tar ut varandra från den del av klotet "på utsidan" (om man är på avstånd r från centrum av klotet med radien R, r<R, och detta klot består av ett homogent distribuerat medium som ger upphov till attraktionskrafter) gäller ALLA krafter som avtar från punktkällan som 1/r^2. Beviset gäller ju inte bara gravitationskraften och orsaken till fenomenet är just avtagandet 1/r^2.

Sorry, läste nog lite för fort först

Läste igenom det en gång till och då trillade poletten ner

Det här om radien till planetens medelpunkt, är den konisk? Jag har svårt för det här (byter ämne lite kanske), jag brukar tänka på snittet på ett rör som är cirkulärt - det kallas för något har jag blivit upplyst om, men glömt. Kan man sammanfoga ett oändligt antal cirklar till ett rör som möter sin ände (ihålig ring). Jag har överhuvudtaget svårt att greppa formen, som inre och yttre diameter.