Sannolikhetsteori 1 (hjälp 3.4.4)

Hej

Jag har fastnat på uppgift 3.4.4 i boken Stokastik. Men frågan lyder såhär:

Vid en produktionsprocess vill man tillverka kolvar med en viss diameter. Man har dock inte perfekt precision utan absolutfelet Y i kolvens diameter kan beskrivas av en kontinuerlig slumpvariabel som antar värden mellan 1 och 5 mm, och vars täthetsfunktion är omvänt proportionell mot absolutfelet.

a) Bestäm täthetsfunktionen fy(y).
b) Bestäm fördelningsfunktionen Fy(Y).
c) Beräkna sannolikheten att absolutfelet är högs 2 mm.
d) Beräkna sannolikheten att absolutfelet är mellan 3 och 4 mm.

Tack på förhand.

Har precis läst matematisk statistik och fick en femma men den här typen av uppgift är helt ny för mig.
Vad jag kom fram till är följande på a-uppgiften:
fy(y) = 1/ (ln(25)*y), om 1<y<5
fy(y) = -1/((ln(25)*y), om -5<y<-1
Misstänker dock att detta är fel men hoppas att du har svaret någonstans. Om du har det, och det mot förmodan skulle vara rätt, hör av dig så förklarar jag hur jag gjorde (behöver rita bild etc, för lat för att göra det om det nu är fel). Om a är rätt är jag ganska säker på att jag kan lösa b,c,d också.

okej tack för att du försöker , jag har svaren. Skulle gärna vilja se lösningen.

a) fy(Y) = 1/(y ln5), för 1≤ y ≤5
b)ln(y)/ln5, för 1≤ y ≤5
c)ln2/ln5
d)(ln4-ln3)/ln5

Jag gör ett försök utan att vara särskilt insatt i Stokastik...

a) Vi skall ha fy(Y) = c/Y med ∫ fy(Y) dY = 1, där integralen tas från 1 till 5. Detta ger 1 = ∫ (c/Y) dY = c [ln |Y|] = c (ln 5 - ln 1) = c ln 5, dvs c = 1/(ln 5).
Alltså blir fy(Y) = c/Y = (1/(ln 5))/Y = 1/((ln 5) Y).

b) Fy(Y) = ∫ fy(Y') dY', där integralen tas från 1 till Y. Vi får därför Fy(Y) = ∫ 1/((ln 5) Y') dY' = (ln Y)/(ln 5).

c) P(Y ≤ 2) = ∫ fy(Y') dY', där integralen tas från 1 till 2, vilket blir Fy(2) = (ln 2)/(ln 5).

d) P(3 ≤ Y ≤ 4) = {på samma sätt} = Fy(4) - Fy(3) = (ln 4)/(ln 5) - (ln 3)/(ln 5) = (ln 4 - ln 3)/(ln 5).

Okej, ser att jag tänkt lite fel, Y representerar absolutfelet, och kan därför inte vara <0. Så här har jag tänkt:
Uppgiften säger att täthetsfunktionen är omvänt proportionell mot absolutfelet, och att y varierar mellan 1 och 5.
Vad du då kan göra är att helt enkelt rita upp en 1/x-kurva (eller i det här fallet 1/y), eftersom det är det man menar med omvänd proportionalitet, som bara är definierad mellan 1 och 5. Om du inte vet hur den ser ut har jag hittat en hyfsad bild här: http://www.lasermate.com/1xNInG10.gif. Tänk dig att kurvan på den bilden börjar i 1 och slutar i 5, och där har du din fördelning, samt att kurvan är jämnare (inte perfekt bild).
Som du kanske känner till säger själva definitionen av en täthetsfunktion att arean under den måste vara lika med 1, eller annorlunda uttryckt att sannolikheten att något inträffar = 100%. Det är på så vis man kommer fram till ln(5)-faktorn. Detta görs enklats genom att helt enkelt integrera fy(y) från 1 till 5. Om du gör det på fy(y) = 1/y så erhåller du [ln(y] från 1 till 5 = ln(5) - ln(1) = ln(5) - 0 = ln(5) vilket är skiljt från 1. För att det ska bli ett måste du multiplicera med 1/ln(5) vilket ger oss att fy(y) = 1/ (y * ln(5)). Man kontrollerar nu lätt att integralen från 1 till 5 verkligen blir = 1.
Om du inte vet hur du integrerar så kan inte jag hjälpa dig med det här, blir för svårt att lära ut över flashback.

Det står ju "absolutfelet Y /.../ antar värden mellan 1 och 5 mm", så Y antar inte ens värden < 1.

Fördelningsfunktionen Fy(y) fås genom att integrera fy(y) från minus oändligheten till y. I vårt fall är minus oändligheten desamma som 1 eftersom fy(y) är noll för alla värden mindre än 1. Alltså: Fy(y) = 1/ln(5) * [ln(y] från 1 till y. = 1/ln(5)(ln(y) - ln(1)) = ln(y)/ln(5)

Set att manne svarat på samtliga.
Ganska ny på teknologiforumet, kan någon berätta hur man ritar integraltecken, stora sigma, övriga grekiska bokstäver etc?

Du kan kopiera symbolerna från detta inlägg eller använda Firefox tillsammans med tillägget Flashmath. (Se tråden Vetenskapliga länkar 1.2.)

tack manne1973