Analysproblem, lite stöd tack!

Jag har fått följande uppgift:

Antag att f: R -> R är deriverbar överallt och att f'(a)< c < f'(b), där a<b. Visa att det existerar en punkt p ∈ [a,b] sådan att f'(p) = c.

Saker och tänka på: derivatan måste inte vara kontinuerlig i alla punkter.

Försök komma på ett sätt att applicera medelvärdessatsen.

Om det finns någon punkt där derivatan inte är kontinuerlig så är vänster- och högergränsvärdet för (f(x+h)-f(x))/h inte likadana i den punkten. Då är den ju inte alls deriverbar överallt. Min uppfattning har alltid varit att dessa påståenden är ekvivalenta:
1. Funktionen deriverbar.
2. Derivatan av funktionen kontinuerlig.

Théorème des accroissements finis med lite théorème de Rolle...

Men det verkar konstigt att den inte ska behöva vara kontinuerlig, det är väl trots allt en av två saker som antas i teoremet... Kontinuerlig och deriverbar på alla punkter mellan a och b.

Vad är det du behöver hjälp med, att förstå varför det är så eller att bevisa det?

Höger- och vänstergränsvärdet av derivatan kan saknas, men funktionen är ändå deriverbar i punkten.

Exempel:
f(x) = x² sin(1/x²), med f(0) = 0
Eftersom -x² ≤ x² sin(1/x²) ≤ x² gäller att -|h| ≤ h sin(1/h²) ≤ +|h|. Eftersom -|h| → 0 och +|h| → 0 då h → 0, får vi enligt instängningslagen för gränsvärden att (f(h)-f(0))/h = h sin(1/h²) → 0, dvs f'(0) = 0.
Däremot saknar f'(x) gränsvärde då x → 0.

Det du skall bevisa är Medelvärdessatsen. Men börja med att kolla på specialfallet där f(a) = f(b), vilket bevisas i Rolles sats.

Det jag ska bevisa är inte medelvärdessatsen i sig, utan det faktum att medelvärdessatsen gäller för derivatan till alla kontinuerliga funktioner.

Det jag gjorde för att bevisa den var att:

konstruera g(x)=f(x)-x*c, samt dess derivata g'(x)=f'(x)-c

vi finner att g'(p)=0, och g'(b)>0>g'(a) som en följd.

satsen om största och minsta värde säger att funktionen g(x) måste ha ett minsta värde någonstanns i intervallet [a,b], men eftersom g'(a)<0 så är funktionen avtagande där, och i g'(b) är den växande, det måste därför finnas minst en punkt emellan dem där funktionen antar sitt minsta värde, och derivatan i den punkten måste vara 0. Vi har alltså visat att g'(p)=0 finns i [a,b] och eftersom att f'(p)=g'(p)+c enligt definiton så finns därför också f'(p)=c.

Någon som finner något fel i resonemanget?

Jag tror att du tänker på Satsen om mellanliggande värde. Den skall du inte visa, nej. Men Medelvärdessatsen skall du visa.

Nej det där är ett korrekt resonemang, men du använder satser:

1. Om f är definierad och deriverbar på [a,b], och det finns ett c i (a,b) där f antar ett minimum, så är f'(c) = 0

2. Om f är definierad och deriverbar på [a,b], och f'(a) < 0, så kan inte a vara ett minimum till f

3. Om f är kontinuerlig på [a, b] så antar den ett maximum och ett minimum.



1 och 2 är egentligen ganska direkta följder av medelvärdessatsen, och om jag var du skulle jag åtminstone skissera ett snabbt bevis. 3:an är en ganska standard sats, så det är väl okej att använda, men egentligen skulle jag föredra ett resonemang som bara använder medelvärdessatsen direkt, och inte tar in satser som egentligen inte behövs. (Och ett sådant resonemang finns alltså).

Ser att du fått många förslag redan.

Darbouxs sats är namnet. Den säger att om f(x) deriverbar på ett intervall då kan f'(x) inte ha någon språngdiskontinuitet där.

Spoiler: Bevis här
http://en.wikipedia.org/wiki/Darboux's_theorem_(analysis)

Egentligen är väl 1 och 2 direkta följder av derivatans definition, och 3 är ändå en mer grundläggande sats än medelvärdessatsen. Förutsatt att det inte är en uppgift för att träna användning av medelvärdessatsen så är det ju därför smartast att ta det bevis man hittar först, eftersom medelvärdessatsen är den sats som egentligen inte behövs.



Varför ska han visa medelvärdessatsen? Den må vara möjlig att skriva om för att få det eftersökta resultatet, men den naturliga beskrivningen av problemet bör ändå vara 'satsen om mellanliggande värden för derivator'.

Vad skiljer påståendet i uppgiften från Differentialkalkylens medelvärdessats? (Icke att förväxla med Integralkalkylens medelvärdessats, som hittas på samma Wikipediasida.)