Geometrisk summa med komplex kvot

Försökte ge mig på denna fråga på tentan imorse, men insåg snabbt att jag inte hade en chans. Men ändå nyfiken på hur lösningen skulle bli:

Låt s= ∑ a_k (med 9 i "taket" och k=0 i "golvet" på summatecknet)
där a_0,a_1,a_2,...a_9 ∈C vara en geometrisk summa med a_0=1 och kvoten q≠1.

Antag vidare att a_0+a_2+a_4+a_6+a_8=a_1+a_3+a_5+a_7+a_9.
Bestäm alla komplexa värden som kvoten q≠1 kan anta. Beräkna s för dessa värden på q.

Min första tanke var att klura in mig på r(cosx+isinx) men fastnade lite. Vet att informationen a_0=1 säkert skulle användas till något men lyckades inte riktigt få fram vad.

MVH

Så kom lösningsskissen upp precis nu, nåja..

Vi har att om a_0+a_2+a_4+a_6+a_8=a_1+a_3+a_5+a_7+a_9 så gäller att a_0+a_2+a_4+a_6+a_8=0. Annars:

a_1+a_3+a_5+a_7+a_9=q(a_0+a_2+a_4+a_6+a_8)⇒
q=(a_0+a_2+a_4+a_6+a_8)/(a_0+a_2+a_4+a_6+a_8)=1

vilket enligt uppgiften inte var fallet.

a_0+a_2+a_4+a_6+a_8=a_0*((q^2)^5-1)/q-1=a_0*(q^10-1)/(q-1)

Ska detta vara 0 måste q^10-1=0, q^10=1. Nu finns det 10 komplexa rötter till denna ekvation. Nu är det ett rent slitgöra att få fram dessa q och beräkna summorna utifrån a_0=1.

PS: Nästan som facit. Glömde att q givetvis fortfarande inte kan vara 1.