Gränsvärde med Maclaurin

Har ett lite stört problem här:

lim(x -> 0) (sin(x^2)-sin^2(x))/(x^4)

Det är sin^2(x) som krånglar till det. Lösningsförslaget säger att:

sin^2(x) = (x-(1/6)x^3+B1(x)x^5)^2 = x^2-(1/3)x^4+B2(x)x^6

Kvadreringen skulle alltså ha gett 1/3 istället för 1/6 och x^3 skulle blivit x^4 och x^5 blir x^6.

Jag kan absolut inte fatta varför det blir så. Åkte på ett annat tal som också gav en kvadrering (ln i det fallet) och det blev också något stört resultat, precis som om dom hade adderat exponenterna och in multiplicerat. I alla fall, kan någon förklara detta för mig.

Tack på förhand !!!

Om du skriver ut parentesen:
(x-(1/6)x^3+B1(x)x^5)^2 =(x-(1/6)x^3+B1(x)x^5)*(x-(1/6)x^3+B1(x)x^5)
Och räknar ihop det så ser du säkert att facit stämmer.
2*x*(-1/6)x^3=(-1/3)x^4, x*x^3=x^4 och x*x^4=x^5

sin(t) = t - t^3/6 + O(t^5)

sin(x^2) = x^2 - x^6/6 + O(x^10)

(sin(x))^2 = (x - x^3/6 + O(x^5))^2 = x^2 - 2 * x * x^3/6 + O(x^6)
= x^2 - x^4/3 + O(x^6)
enligt (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc samt reduktion av O(x^n)-termer där n >= 6 till O(x^6)

sin(x^2) - sin^2(x) = (x^2 - x^6/6 + O(x^10)) - (x^2 - x^4/3 + O(x^6))
= x^4/3 + O(x^6)

(sin(x^2)-sin^2(x))/(x^4) = (x^4/3 + O(x^6))/x^4 = 1/3 + O(x^2) -> 1/3 då x -> 0