talteori

Talet n är ett positivt ensiffrigt heltal. Heltalet a är sådant att a och a^n tillsammans har 361 siffror. Bestäm n.

Du kanske kan använda detta:
Antalet siffror i ett tal x är 1 + [lg x], där lg betecknar 10-logaritmen och [t] betecknar heltalsdelen av t.

Tack!, lyckades lösa den nu, men hur får man fram att antalet siffror i ett tal är 1 + [lg x]?

Skriver vi ett tal x som a*10^b där a∈[1,10[ och b∈Z (potensform) så märker vi att log_10(x)=log_10(a)+log_10(10^b)=log_10(a)+b

Nu vill vi gärna få reda på b eftersom detta tal reglerar antalet tiotal och i slutändan antalet siffror. Möblerar vi om så har vi b=log_10(x)-log_10(a).

a∈[1,10[ ⇒ log_10(a)∈[-1,0[.

Slutsats: b=log_10(a)+c där c∈]0,1].

Vi antog också att b∈Z så log_10(a)+c är också ett heltal. Man kan då avrunda log_10(a) nedåt och c uppåt. Eftersom intervallet är öppet i underkant kommer c alltid att avrundas till 1. Då har vi att

b=⌊log_10(x)⌋+1.

Underbart! Tackar, tackar.