geometri

man har en cirkel med r=1
i denna finns en liksidig triangel inskriven och i denna triangel finns en kvadrat inskriven. hur får man fram kvadratens sida...

...../\
.../__\
./ |__|\

detta är vad som finns inuti cirkeln :P

jag har fått triangelns sida till sqrt3 l.e.. sen har jag dragit en höjd i triangeln från den bas på vilken kvadratens sida ligger.. denna får jag till 3/2 l.e.

om man delar topptriangeln i två lika delar. dvs drar en höjd från kvadratens sida. blir dessa två trianglar då likformiga med de två trianglar som finns till höger och till vänster om kvadraten?

Ligger kvadratens hörn på mitten av triangelns ben?

Om hörnen ligger på mitten av triangelns ben så får jag kvadratens sida till sqrt(3) / 8.

Eftersom triangeln är liksidig får vi att alla vinklar är 60°.

Dela triangeln i 3 trianglar genom att dra linjer från mitten av cirkeln till hörnen av triangeln. Du får då att toppvinkeln är 360°/3 = 120° och de två benen har samma längd som radien. Då kan man få "botten" på triangeln som också är samma "botten" som den stora triangeln vi hade, de två kvarvarande vinklarna är ( 180°-120° )/ 2 = 30°. Man får då via sinusatsen att "botten" är sqrt(3)/4.

Om hörnen nu ligger i mitten av benet så får man via sinusatsen att sidan är 3/16.

topptriangelns höjd kan vi beteckna y
den triangel nere till höger har då basen x, och ja dessa trianglar är likformiga.
(så kvadratens sida kan vi beteckna sqrt3-2x l.e eller 3/2-y)
Och eftersom du vet att triangeln har höjden 3/2 och basen sqrt3 så kan du få ut arean. Detta är maxarean(eftersom den fyller ända ut till cirkeln med sina 3 hörn) Sedan är jag lite för slö för att fortsätta här.
Tror du ska derivera A=bh/2 och byta ut variablerna för att kolla max värdet, stoppa in ditt maxvärde och få ut x... men är inte helt säker
Intuitivt känner jag att kvadratens sida måste vara sqrt3/2 säg till om det är rätt sen, nyfiken om jag tänker rätt här

http://img514.imageshack.us/img514/4503/namnlszy.jpg

här har vi uppgiften.. men återigen frågan gäller den eventuella likformigheten.

Red-nuht: hoppas detta förtydligar.

andreynr6: inget optimeringsproblem. var kanske en otydlig förklaring av mig tidigare. hoppas det blir enklare nu.

Cirkelns radie är r, kvadratsidan är s. Vi söker r/s.

r är 2/3 av triangeln median, alltså är triangelns höjd 3/2r och dess sida sqrt(3)r. s förhåller sig till sqrt(3)r som 3/2r-s förhåller sig till 3/2r.

r/s = (sqrt(3)+2)/3 = 1,24.