Matte E - Diff ekv

Flera är enkla uppgifter men jag får inte till det. Behöver utförliga lösningar!

1. Visa att y=e^x-2e^5x är en lösning till diff ekv y''-6y'+5y=0
Jag utgår från den karakteristiska ekvationen till y''+ay'+by'=0 men det blir fel.

2. Löss diff ekv 2y''+y'=y
Liknande problem som ovan.

3. Finns det någon lösning tilldiff ekv y''-2y-3y=0 sp, uppfyller villkoren y(0)=2 och y'(0)=4
Den karakterisktiska ekvationens rötter blir decimaltal... Är man helt borta och inte kan lösa en andragradsekvation rätt? För det är felet i så fall på uppgifterna hittills.

4. Bestäm den lösning till diff ekv f''(x)-f'(x)=0 för vilket gäller att f(0)=0 och f'(0)=1

5. Visa att y=(2-x)e^3x är en lösning till diff ekv y''-6y'+9y=0

Det blir fel med de karakteristiska ekvationernas rötter och då blir det så klart fel i den allmäna lösningen... Visa utförligt, behöver verkligen hjälp på dessa!

1. Karaktäristiska ekvationen: r^2-6r+5=0 ger rötterna r1 = 1, r2 = 5 som ger y = C*e^x + D*e^5x, där C = 1 och D = -2. Uppgiften kan också lösas genom att räkna ut y'' och y' och sätta in allt i ekvationen.

2. 2y''+y'=y <-> y'' + 0.5y'-0.5y = 0
r^2 + 0.5r - 0.5 = 0 ger rötterna r1 = 0.5 och r2 = -1 som ger: y = C*e^0.5x + D*e^-x

3. r^2-2r-3 = 0 ger rötterna r1= -1 och r2 = 3 som ger: y = C*e^-x + D*e^3x.
y' = -C*e^-x + 3D*e^3x.

y(0) = C + D = 2
y'(0) = -C + 3D = 4

elimination ger
C + D - C + 3D = 4D = 6 --> D = 1.5 och C = 0.5
y = 0.5e^-x + 1.5e^3x

4. r^2-r=0 <--> r(r-1) som ger r1=0 och r2 = 1 och därmed f(x) = C + D*e^x.
f'(x) = D*e^x

f(0) = C + D = 0
f'(0) = D = 1 --> C = -1

f(x) = e^x - 1

5. r^2 - 6r + 9 = 0 har rötterna r1 = r2 = 3 som ger y = (Cx + D)e^3x där C = -1 och D = 2.

Hoppas allt blev rätt nu, säkert nåt slarvfel här och där.