Vilket utfall har störst sannolikhet?

Hej! Jag försöker räkna ut detta, men jag kommer inte riktigt fram till något bra svar. Ta gärna en titt!

--------------------------------------------------------------------------
Två tärningsspelare spelar.

A slår tre tärningar. Slår A 1,2 eller 3:a får hen ett poäng.

B slår tre tärningar. På de två första tärningarna, får B ett poäng om hen slår 1 eller 2. Den tredje tärningen ger ett poäng om hen slår 1,2,3 eller 4.


Vem av spelarna har störst sannolikhet att få flest poäng?

Om jag förstod uppgiften rätt så borde det bli:

3/6 + 3/6 + 3/6 = 9/6 för spelare A

och

2/6 + 2/6 + 4/6 = 8/6 för spelare B

Alltså borde spelare A ha störst chans att vinna

Det låter rimligt. Vad blir det om man gör om det till procent?

Hur många procents chans har A att vinna och hur stor chans har B att vinna?

Sannolikhet adderas inte utan läggs till multiplikativt:

Om du slår tre tärningsslag så finns det 216 olika sätt som det kan falla ut på (1,1,1-1,1,2-1,1,3,osv...)

I 27 fall av 216 får spelare 1 3 poäng, i 81 fall av 216 får han 2 poäng, i 81 fall av 9 får han 1 poäng och i 27 fall av 216 får han inga poäng alls. Här är en tabell som visar hur det fungerar:

http://lh4.ggpht.com/_oxwiZOFRMjA/S0...rningsslag.jpg

EDIT: glömde helt bort spelare 2, det ska inte ta lång tid.

Och så har vi spelare två:

http://lh3.ggpht.com/_oxwiZOFRMjA/S0...ningsslag2.jpg

kan du tolka det själv eller ska jag posta siffrorna också?

Faktum är att Tsimons svar egentligen ger samma resultat, fast på ett enklare sätt.

Dina uppställningar ger att på 216 slag (ett av varje kombination) får spelare A ihop 324 poäng, dvs i snitt 324/216 poäng per slag.
Spelare B får ihop 288 poäng enligt samma metod, dvs i snitt 288/216 poäng per slag.

Men 324/216 = 9/6 och 288/216 = 8/6.

Det har du rätt i, jag börjar visst bli lite rostig.

Jag kan ju berätta hur jag räknar så får du ännu ett sätt.

För varje tärning som spelare A kastar komma han få 0.5 poäng i snitt eftersom han får poäng på 1,2 och 3 men inte 4,5 och 6 - alltså halva antalet prickar. Tre tärningar ger således 1.5 poäng i snitt.

Spelare B:s två första tärningar ger 0.33 poäng i snitt eftersom 1 och 2 är en tredjedel av tärningarnas prickar. Dessa två tärningar ger alltså 0.66 poäng i snitt tillsammans. Den tredje tärningen har fyra vinstgivande prickar vilket ger 0.66 poäng i snitt. Spelare B får alltså sammanlagt 1.33 poäng i snitt.

Men hur räknar man ut procenten då? Jag gör ett försök men hoppas att någon rättar mig.

I genomsnitt delas det ut 2.88 poäng (1.50+1.33) varje omgång. Om 2.88 motsvarar 100 procent så borde man väl kolla hur mycket procent poängskillnaden mellan spelarna blir. Poängskillnaden är 0.17 och 0.17 delat med 2.88 är: 0.059 vilket borde vara 5.9 procent. Så Spelare A borde då ha ungefär 53 procents chans och Spelare B 47 procents chans att vinna.
Har jag räknat rätt?

Måste säga att det florerar en oerhört stor mängd felaktigheter i den här tråden.

Felet alla utom MrTester gör är att anta att bara för att A får högre poäng i snitt så kommer han också ha högre chans att vinna. Så behöver förstås inte vara fallet; jämför om det hade vart följande situation istället:

A och B har 25 kronor var, som dom ska investera.

A går och köper en trisslott, skrapar den, och tar hem eventuellt vinst.

B är en snäll människa, han kommer hit och ger pengarna till mig. Som tack för besväret så får han en 50-öring tillbaka.

Vem har störst chans att ha mest pengar när spektaklet är slut?

Jag vågar påstå att det är ganska tydligt att A i snitt kommer vara rikare, men att B har störst chans att vinna.

(A kommer i snitt ha drygt 12:25, B kommer ha 0:50. Men med drygt 79 procents sannolikhet kommer A inte vinna nånting alls, och B kommer därför vara rikare. Källa för den som vill räkna lite: http://svenskaspel.se/img/pdf/Triss_ordinarie_0706.pdf)



Rätt sätt att räkna skulle vara såhär:

Sannolikheten att A respektive B får x poäng är


(Tabellerna ska alltså läsas som att A har 1/8 chans att få 0 poäng, 3/8 chans att få 1 poäng, och så vidare.)

Dessa värden kan läsas ur MrTesters tabeller, eller helt enkelt räknas ut genom att summera sannolikheterna för de olika sätten för spelarna att få ett visst antal poäng.


Om nu båda spelar, så är vi intresserade av sannolikheterna att av resultatet blir tex. 0 - 0, 1 - 0 till A, 2 - 1 till B, och så vidare. Men (så länge tärningsslagen är oberoende) så är sannolikheten att resultatet blir tex 2 - 1 till B bara sannolikheten att B får 2 poäng multiplicerat med sannolikheten att A får 1 poäng. Om man gör utför multiplikationen får man följande tabell:


(Värdet som står under kolumn "2", rad "1", anger alltså sannolikheten att A får 2 poäng medan B får 1 poäng.)

Nu kan man räkna ut sannolikheten att A vinner genom att summera sannolikheterna för att det blir 1-0, 2-0, 3-0, 2-1, 3-1 samt 3-2, det vill säga den övre högre halvan av tabellen ovan, så att säga. Då får man att sannolikheten A vinner med sannolikhet 85/216. På motsvarande sätt ser man att B vinner med sannolikhet 62/216, och att det blir lika med sannolikhet 69/216.





Ett ganska enkelt sätt att inse att det här inte rimligtvis kan vara en korrekt uträkning är att fråga sig: vad är, enligt den här metoden, sannolikheten att A och B får lika många poäng?

Ok, jag misstänkte att jag var ute och cyklade, men stämmer det ändå inte att spelare A har sex procents större chans att vinna än Spelare B? Om de kastar tre tärningar var förstår jag förstås att det ofta blir oavgjort men om man bara räknar de gånger som någon av dem vinner så borde väl Spelare A vinna sex procent oftare?

Och ditt exempel med trisslotten och 50-öringen tycker jag inte stämmer som liknelse då den med trisslotten och den med 50-öringen har helt olika förutsättningar sinsemellan till skillnad från de två tärningspelarna.

Tärningspelarna kan man säga har 18 siffror att spela på. Om man ordnar tärningsprickarna så att första tärningens siffror är 1A, 2A osv, och nästa tärnings prickar heter 1B, 2B osv och tredje tärningens prickar 1C och 2C osv så ser man ju att det är samma förutsättningar förutom att Spelare B får poäng för 4C men inte för 3A och 3B.

Spelare A får spela på nio siffror medan Spelare B endast får spela på åtta siffror. Därmed kommer A vinna oftare och liknelsen stämmer inte. De har ju samma förutsättningar, spelar samma spel med den enda skillnaden att Spelare B har ett nummer mindre att "heja" på.

Det som efterfrågas är väl?
"Vem av spelarna har störst sannolikhet att få flest poäng?"

A = 0.5^3
= 0,125 dvs 12.5 % sannolikhet till 3 poäng

B = (2/6)*(2/6)*(4/6)
= 0,0740740741 dvs ca 7,4 % sannolikhet till 3 poäng

När frågan ställs som den gör så resonerar jag på detta sätt.

Rätt eller fel, vad vet jag ?