Bevis för deriveringsregeln?

Jag har sedan länge vetat att om f(x) = x^n blir derivatan f'(x) = nx^(n-1). Något jag däremot aldrig förstod var beviset för detta. Det enda beviset vi fick var ju "Vi testar med några tal. Det stämde, alltså stämmer deriveringsregeln". Det är ju lite motsägelsefullt, då det aldrig blir något bevis, om man bara testar med några tal?

Samtidigt känns det ju konstigt att det inte skulle finnas något bevis för något stort som derivata?

Wikipedia verkar inte hjälpa så mycket heller, så ni är mitt enda hopp!

Det finns olika sätt. Man kan använda binomialutveckling:
(x+h)^n = ∑ C(n,k) x^k h^(n-k) = x^n + n h x^(n-1) + O(h^2)
vilket ger
((x+h)^n - x^n) / h = (x^n + n h x^(n-1) + O(h^2) - x^n) / h
= n x^(n-1) + O(h) → n x^(n-1)
då h → 0.

Man kan också skriva x^n = e^(n ln x), och utnyttja deriveringsregler för exponentialfunktionen och naturliga logaritmen, tillsammans med kedjeregeln. Detta ger
d(x^n) /dx = e^(n ln x) * n * 1/x = x^n * n * 1/x = n x^(n-1).

Snyggt! Trodde att induktion skulle vara inblandad, men jag hade visst fel.

Induktionsbevis är ett ytterst elegant sätt att bevisa att något blir på ett visst sätt och omöjligen kan bli något annat. En av matematikens skönheter. Att bevisa deriveringsregler kan man naturligtvis göra, jag har själv sett sådana bevis i olika böcker. Dock har det ofta varit illustrationer inblandade som förtydligar det hela högst avsevärt. Det blir betydligt svårare att bevisa en sådan här sak med endast de bokstäver, siffror och tecken som finns tillhands att återge på ett inlägg här på Flashback.

/Pime

Klart man kan göra det med induktionsbevis, här är ett som jag kom på nu.

Induktionsbas: Derivatan av x är 1, borde vara ganska självklart direkt ur definitionen.

Induktionsantagande: Dx^(n-1)=(n-1)x^(n-2)
Använd produktregeln för att få : D(x^n)=D(x*x^(n-1))=x^(n-1)+x(n-1)x^(n-2)=nx^(n-1)

Det finns ofta många sätt att bevisa något. Jag är faktiskt ganska säker på att jag någon gång har sett ett induktionsbevis på just detta, men tyvärr har jag glömt bort tillvägagångssättet.

Det mest eleganta beviset är dock onekligen det i vilket man skriver om till exponentialfunktionen, eftersom det fungerar för alla n, inte bara för heltal. Om man använder gammafunktionen istället för fakultet så kan man kanske utvidga binomialhärledningen till alla n också, men nu har jag inte ork till att undersöka detta närmare.

Det här fick jag lära mig i skolan.

f(x+h)-f(x)/(h) där h-->0

Om man sedan ska derivera f(x)=x^2 så blir det
(x+h)^2-x^2 = x^2+2hx+h^2-x^2=h(2x+h)

h(2x+h)/h, h--> 0 = 2x

Derivera nu f(x) = x^n genom derivatans definition?

Man kan väl också använda nån cool "konjugatregel"?

polynomfaktorisering:
(x+h)^n-x^n=(x+h-x)((x+h)^(n-1)+(x+h)^(n-2)x+(x+h)^(n-3)x^2+...+(x+h)x^(n-2)+x^(n-1))
dela det med h och låt h gå mot noll så är del väl uppenbart att det går mot nx^(n-1)

Jag har själv ingen större matematisk begåvning och måste få saker och ting grundligt förklarat för mig för att förstå.

Följande video är verkligen pedagogisk och vänder sig till folk som inte har Aspergers och matematisk überförmåga:

http://www.youtube.com/user/patrickJMT#p/u/374/vzDYOHETFlo

Har som uppgift att bevisa deriveringsregeln men jag är inte så van med bevisföring skulle behöva lite hjälp på traven.

Är bekant med binomialutvecklingen (x+h)^n = ∑ C(n,k) x^k h^(n-k) som manne1973 skrev tidigare, men vad betyder:

x^n + n h x^(n-1) + O(h^2) <-- fetstilta


Att använda naturliga basen e såg elegant ut men vet inte om det duger till bevis eftersom den använder sig av deriveringsregler? Känns som en genväg

http://sv.wikipedia.org/wiki/Ordo