Kvadratkomplettering

Kan någon förklara för mig vad detta är, och gärna visa exempel med en uppgift då jag aldrig riktigt greppat kvadratkomplettering utan bara lärt mig pq-formeln utantill och matat in värden för att lösa helt huvudlöst.

Som sagt, lär mig vad kvadratkomplettering är och visa gärna med en konkret exempel!

God jul!

Efter en snabb googling vilket jag rekommenderar innan man startar hjärndöda trådar:

http://sv.wikipedia.org/wiki/Kvadratkomplettering

http://www.mattecentrum.se/dokument/...plettering.pdf

Kvadrat komplettering går ut på att finna högerledet i

x²+px+q=(x+a)²+b

där a=p/2 och b=q - a²

och noter att uttrýcket har minimum när x+a=0 alltså x=-a.

Så här löser man en andragradare allmänt.

x² + px + q = 0

x² + px = -q

x² + px + (p/2)² = (p/2)² - q << (öka båda leden med kvadraten på p/2)

(x + p/2)² = (p/2)² - q

x + p/2 = ±√((p/2)^2 - q)

x = - p/2 ± √((p/2)^2 - q)


God jul.

Med att kvadratkomplettera menar man i generell mening att faktorisera ett polynom av grad två, oftast med endast en variabel.

Tekniken går ut på att man om man har ett polynom, låt säga:
x^2 + x - 6
Vi gör då om detta till
(x + 1/2)^2 - (1/2)^2 - 6 (1/2 kommer ifrån halva konstanten som står innan x)
(x + 1/2)^2 - 1/4 - 24/4
(x + 1/2)^2 - (5/2)^2
Applicera sedan att konjugatregeln, (a - b)(a + b) = a^2 - b^2
baklänges och se då alltså 5/2 som b.
dvs. (x + 1/2 + 5/2)(x + 1/2 - 5/2) = (x + 3)(x - 2)

Hur fick du x²+x-6 till (x+1/2)²-(1/2)²-6 ?

x^2+bx+c
Om man halverar värdet framför x, (b), ser man att om man sätter det i kvadret tillsammans med x blir det samma värde som innan fast b/2 för mycket. Kanske lättare att förklara med matematikens språk.

x+bx+c = (x+b/2)^2-(b/2)^2+c

Detta är ett bevis för pq-formeln eftersom om man sätter lika med 0...

(x+b/2)^2=(b/2)^2-c
x=-b/2 +- rotenur (b/2^2-c)

Nu greppade jag! Tackar så mycket, nu till sista frågan, varför är det i (x+a)(x+b) a och b som blir rötterna, hur bevisar man det?

Det blir det inte, det blir -a & -b.
Anledningen är att uttrycket ser ut såhär (x + a)(x + b) = 0
Lösningarna på den ekvationen blir ju när en av faktorerna blir 0, exempelvis när x = -a för då får vi
(-a + a)(-a + b) = 0 <=> 0*(-a + b) = 0 <=> 0 = 0
Förstår du?

Hmm.

Om vi har x^2-3x-4=0

Om jag nu gjort rätt så kommer det se ut som sådant:

(x+4)(x-1) där +4 och -1 är rötterna dvs, a=+4 och b=-1 ?

Och nu då vi konstaterat att rötterna är +4 och -1, skulle man ju då vilja sätta in +4 i stället för x för att få 0, men då slutar vi ju med (+4+4)?
Vilket betyder att vi måste sätta in -4 för att få 0 i första faktorn, men vi vet ju att det är +4 som är ena roten?

Aha, är det just därför det blir -a, eftersom vi fick att x skulle vara -4, men eftersom x ska vara -a blir det x=-4 och x=-a dvs -4=-a dvs a=4 dvs (x+4)=0 om (x+a)=0

Testa att utveckla det du fått fram när du kvadratkompletterat så ser du om du gjort rätt.

(x + 4)(x - 1) = x^2 -x + 4x -4 = x^2 +3x - 4, vilket ger oss fel tecken.
(x - 4)(x + 1) däremot ger oss rätt tecken på allt, och det ger att rötterna blir x = 4 & x = -1, eftersom det vi söker är att få x - 4 = 0, och x + 1 = 0.
De ekvationerna är inte så svåra att lösa iallafall.

Det man gör är väl att man adderar in en liten kvadrat till den yta man ska räkna ut, så att den får formen av en kvadrat?