Bestäm Laurentutvecklingen

Uppgift 1:

Bestäm Laurentutvecklingen av f(z) = z^2 / (z^2-z-6) i området 2 < |z| < 3

Uppgift 2:

Utveckla z / (z^2 - z - 2) = SUM (c_n * (z-i)^n ) som konvergerar i punkten z=-i.

Ange även denna Laurent-series konvergensområde.

----

Tack så mycket för hjälpen, har stora problem med Laurentserier faktiskt...har suttit hela dagen :/

Det jag förstår är att man först och främst måste identifiera singulariteterna och sedan använda sig av omskrivningar av uttrycken och utnyttja geometriska serier. Det tar dock stopp med kunskaperna där!

Uppgift 1:
Skriv om uttrycket först genom att:
- Polynomdividera => 1 + (z+6)/(z^2 - z - 6)
- Partialbråksuppdela => 1 + (9/5)*(1/(z-3)) - (4/5)*(1/(z+2)).

Detta för att lätt kunna identifiera geometriska summor som du nämnde, vilket är nästa steg. Du vill att serien ska konvergera i 2 < |z| < 3. Här kan du försöka själv först.

Uppgift 2:
Skriv om:
- Partialbråksuppdela => (1/3)*(1/(z-2)) + (2/3)*(1/(z+1))

Men nu vill du inte utveckla kring z=0 som uppgift ett, utan runt z=i. Eftersom det alltid är mycket trevligare att utveckla kring nollan så fixar vi till det med ett variabelbyte: w = z - i <=> z = w + i.

- Variabelbyte => (1/3)*(1/(w+i-2)) + (2/3)*(1/(w+i+1))

Du vill nu att serien ska konvergera i punkten z=-i, dvs w = -i -i = -2i.
Alltså ska serien konvergera i |w| = |-2i| = 2.

Observera nu att |i-2| = sqrt(5) > 2 och |i+1| = sqrt(2) < 2.

Försök knåpa ihop dina geometriska serier nu som i uppgift 1.

Fick ut dem! Härligt Tack så mycket för hjälpen. Uppgift 1 hade jag inte polynomdividerat först och uppgift 2 gjorde jag inget variabelbyte så du lyckades hjälpa precis där det behövdes hehe.