Problem - Geometriska sannolikheter

Undersök sannolikheten för att den kvadratiska ekvationen x² + 2bx + c = 0 har reella rötter. Värdena på b och c erhålls genom att en punkt med koordinaten (b,c) väljs slumpmässigt i en kvadrat som har sin mittpunkt i origo i ett koordinatsystem. Kvadraten kan antas ha sidan 2B.

a) Bestäm denna sannolikhet om B = 2.
b) Uttryck den efterfrågade sannolikheten i B, samt diskutera vad som händer med sannolikheten för olika värden på B.

För att klara den här uppgiften bör du känna till lite om så kallade geometriska sannolikheter...........

Hittills har jag gjort följande, och jag skulle vilja veta om jag är på rätt väg:

B = 2

pq formeln ger: x = -b ±√(b-c)

Ekvationen har reella rötter när b > c

Sannolikheten att b > c när B = 2:

((-2 till 2)∫(b)dx) / 16 == ([b³/3](-2 till 2)) / 16 == 1/3

a) svar: Sannolikheten 1/3


b: B = B

((-B till B)∫(b)dx) / (2B) == ([b³/3](-B till B)) / (2B) == B / 6

Sannolikheten = B/6


Jag vill absolut inte att någon löser uppgiften åt mig, men skulle någon bara kunna säga om jag är på rätt väg eller inte? Kanske lite tips på hur det ska lösas om det är så att jag är helt ute och cyklar.

Jag har ingen aning om hur man löser själva problemet men...

Rent spontant känns det som att du i alla fall gjort något slarvfel i B)
Om nu B skulle vara större än 6 betyder det att sannolikheten blir större än 1

oops jag ser nu att jag råkade skriva b^5 och B^5 på några ställen.
Det ska förstås vara b^2 och B^2.

Men problemet kvarstår. Och ja det ser helt klart konstigt ut med B/6 sannolikhet, kan ta en titt på förenklingarna senare.

men hur är det med själva problemet, är jag på rätt väg eller jag jag tänkt helt snett?

Sitter bara med mobilen och ser inte dina tecken ordentligt men om du har din kvadrat, så skugga arean där b är större än c. du inser snart att det är diagonalen i kvadraten och därmed blir sannolikheten ett ämne för enkel huvudräkning (mkt enkel sådan dessutom)

Hmm nu förstår jag nog inte riktigt. Jag tror inte att det är så enkelt

Ekvationen har reella rötter när b^2 > c

Skulle det betyda att om jag slumpar fram 2 tal, b & c i intervallet -B < x < B och -B < y < B, så är sannolikheten att funktionen x² + 2bx + c = 0 (ekvationen!) har reella rötter 1/2 (50%)?

Det går inte ihop...eller gör det?

Pröva att integrera längs y-axeln för x>1 och längs x-axeln för x<1. Det är ju i y-led som arean begränsas eftersom då B>1 så är b²>c.

B≥1: P=2*∫(0→B) √(y)dy*1/(2B)²
B<1: P=∫(-B→B) x²dx*1/(2B)²

Nej nu när jag sitter med datorn ser jag tecken jag inte gjorde innan

Jo, ni är inne på rätt spår men det är en liten "nyckel" och det är att räkna ut rätt areor. Utan att lösa uppgiften helt åt dig så kan jag hinta om att b^2 inte skall integreras ändå ut i kanterna ... du vill ju bara integrera inom kvadraten ... och då går integralgränserna inte till -B->B eftersom höjden på b^2 vid en sådan kant skulle vara B^2, dvs långt högre än taket på kvadraten.

Åhå jag förstår nog vad du menar. Jag förstår nog inte riktigt varför än, men jag ska ta en närmre titt senare. Tackar för svar.

Nej nu har jag suttit och klurat på det här ett tag, men jag förstår fortfarande inte varför man skulle integrera mellan -sqrt(B) -> sqrt(B)

Skulle du kunna förklara?

Det kan han nog inte för han har dunderfel.
observera först att om c<0 så är saken klar då b^2 är alltid större än 0. Du har alltså från första början en sannolikhet på minst 50%. I den del av kvadraten som ligger ovanför x-axeln så är b^2>=c om och endast om punkten ligger under kurvan c=b^2. . Du integrerar från -B till B för att beräkna den arean. delar svaret med halva kvadratens area (dvs arean av delen ovanför y-axeln) dvs med 2B^2. Adderar svaret med 1/2 bums du är klar.

Jo det kan jag visst förklara ...

rita upp kvadraten med sidan 2B i ett koordinatsystem. (Eller kolla direkt på min bild jag postade nedan)
Din x-axel är nu "b" och y-axeln är "c".
rita in b^2, dvs en "vanlig x^2-kurva". Man inser att det är inte självklart exakt var kurvan skär kvadraten, för den skär igenom "taket" på din kvadrat eller möjligen genom hörnena, ser du detta i din ritade figur?
Det är fram till den gränsen (där b^2 korsar igenom taket på kvadraten) som integralen ska gå. För att ta reda på det värdet löser man ekvationen
b^2 = B, dvs b^2 har kommit upp i taket,
vilket ger b=sqrt(B), analogt för minussidan pga symmetri.
så, integrera från -sqrt(B) till sqrt(B) och lägg sedan till 2*B^2 för området under b=0.

edit:
Man får också lägga till två "snuttbitar" längst ut, glappet mellan B och sqrt(B)
Det är (B-sqrt(B)) som är bredd och B som är höjd....

Se bilden för förtydligande, i exemplet har kvadraten sidan 4, integrera från -sqrt(4) ->sqrt(4), alltså från -2 till 2.
Resterna vid sidan är två rektanglar som är 2*4 areaenheter stora per styck

http://img199.imageshack.us/i/uppg.j...86/uppg.th.jpg