Linjär Algebra-problem

Känns som att jag spammar denna tråden för tillfället, men har man tenta imorgon(!) så har man. Har lite problem med följande uppgift:

Rummets punkter vrides vinkeln a kring en axel genom origo som är parallell med vektorn (1,1,1). Vridningen syns positiv från spetsen av denna vektor. På vilken punkt avbildas (1,0,0)? (Positivt orienterat, ortonormerat system.)

Jag antar att det är standardbasen nu. Vridning sker kring (1,1,1), som är normal till planet x1 + x2 + x3 = 0. Det är alltså vektorer i detta plan som kommer att utsättas för vridning. Hitta en vektor som är ortogonal mot normalen, exempelvis (1, -1, 0) duger fint. Kryssa normalen och denna nya vektor så hittar du en vektor som är ortogonal mot båda.

(1, 1, 1) × (1, -1, 0) = (1, 1, -2)

Skapa en ny ON-bas med hjälp av dessa vektorer.

f1 = 1/√3 (1, 1, 1)
f2 = 1/√2 (1, -1, 0)
f3 = 1/√6 (1, 1, -2)

Du kan lätt konstatera att avbildning sker i din nya bas såhär:

F(f1) = 1*f1
F(f2) = cosθ*f2 + sinθ*f3
F(f3) = -sinθ*f2 + cosθ*f3

Jag förmodar att det handlar om ett högerorienterat rum, där vridningen är positiv (alltså, om tummen på din högra hand pekar uppåt i normalens/vridningsaxeln så kommer vektorerna vridas åt det hållet dina fingrar går).

Transformationsmatrisen i den nya basen, Af:

(1, 0, 0)
(0, cosθ, -sinθ)
(0, sinθ, cosθ)

Om du vill veta bilden av (1, 0, 0) i standardbasen så tar vi fram matrisen i standardbasen. Då, om bassambandet f = eT gäller så gäller:

Ae = TAfT^-1

Eftersom kolonnerna i T (basen f) är parvis ortogonala och av längden ett så gäller att T^-1 = T.

Ae = TAfT^T

Sen är det bara att avbilda F(e1).

Tänkte skapa en egen tråd, men frågan passar in här. Hoppas inte TS tar illa upp.
Har problem med följande tal:

Bestäm eventuella skärningspunkter mellan linjen (x,y,z) = (1,0,0) + t(1,2,1) och planet x+y+z+3 = 0.

Tack!

Stoppa helt enkelt in det ene planets koordinater i det andre.

Om (x, y, z) = (1, 0, 0) + t(1, 2, 1) så utläser vi:

x = 1 + t
y = 2t
z = t

Stoppa nu i det i det andra planet:

x + y + z + 3 = 0

(1 + t) + 2t + t + 3 = 0 ⇔ t = -1

Stoppar vi in t får vi punkten:

(x y z) = (1, 0, 0) - 1(1, 2, 1) = (0, -2, -1)

Stoppar vi in detta i det andra planet får vi: 0 - 2 - 1 + 3 = 0 vilket stämmer.

Ja, planen skär varandra i punkten (0, -2, -1).