Kontinuitet, derivata

Vi har en funktion f(x) som för x > o

f(x) = ((e^x)-1)/x

och för x <= 0

f(x) = ax + b

Bestäm konstanterna a och b så att funktionen blir kontinuerlig och deriverbar överallt.

Jag får fram att b ska vara 1 genom att kika på höger och vänstergränsvärdet i x = 0, sen kör det ihop sig litet. Jag antar att man ska kolla på höger och vänsterderivatant i x = o också för att få ut a, och genom att göra det får jag ut att vänstergränsvärdet blir a, som då ska vara lika med högerderivatan, men här får jag problem med hur jag ska använda mig av derivatan definition på f(x) = ((e^x)-1)/x, svårigheterna ligger alltså i det algebraiska, förutsatt att jag gjort rätt hittills.

Hjälp uppskattas!

Du tänker rätt. Men måste du använda derivatans definition?

((exp(x+h)-1)/(x+h)-(exp(x)-1)/x)/h=((x*exp(x+h)-(x+h)exp(x))/(x²+xh))/h=((x*exp(x)exp(h)-x*exp(x)-h*exp(x))/(x²+xh))/h=((x*exp(h)-x-h)exp(x)/(x²+hx))/h=((x(exp(h)-1)-h)/h*exp(x))/(x²+xh)=((x*(exp(h)-1)/h-1)*exp(x)/(x²+xh)→(x-1)exp(x)/x² då h→0

Inte alls svårt.

Förmodligen inte, men vet inte hur jag ska göra annars, några förslag?

Ouhf, inte roligt. :P

Ah, tror jag kom på något nu, även om det är lite fult.

Derivera ((e^x)-1)/x och få ((e^x)x - (e^x)+1)/(x^2), kolla sedan högergränsvärdet då x -> 0, använd l'Hospitals och få a = 1/2!