diff. ekv., lite tips

Hej,

Räknar just nu en hel del differentialekvationer men fastnar alltid när jag ska göra en lite krångligare ansats. T.ex. när man har en inhomogen ekv. och H.L. är en summa av två tal.

Ex:

V.L. = e^-x + e^x

eller

V.L. = 4x + sin2x

osv.

Vad är ett bra angreppssätt?

mvh

♫

Till exempel om du har:

y'' + 7y' + y = 4x + sin(2x)

som du tog, då är en bra ansats y = (Ax + B) + (C*sin(2x) + D*cos(2x)), anledningen till det är att om det stått:

y'' + 7y' + y = 4x och man har en funktion y = F som löser denna ekvation och en funktion y = G som löser:

y'' + 7y' + y = sin(2x) så kommer Y = F + G att lösa ekvationen:

y'' + 7y' + y = 4x + sin(2x) ...

Aha okej.

Fan, kommer ju att bli pain in the ass att derivera den 2 ggr...

En annan fråga; när man ska ha en ansats till sin2x (t.ex.) och du har säg både y'', y' och y i ekvationen är det smart att alltid börja med en ansats som ser ut som den som du gjorde((C*sin(2x) + D*cos(2x)))?

Ja, det är smart. Om någon term är överflödig, till exempel D = 0 så ser man det ändå sen. Gör man fel ansats, till exempel D = 0 för ovan men D != 0 i den riktigt lösningen så kommer du ju inte lyckas om du har för få termer med.

True, tack så mycket!

Nej, det funkade inte så bra...

y'' +4y = sin2x

Om y_p = Csin2x + Dcos2x får jag att 8Dcos2x = sin2x vilket naturligtvis inte kan stämma...

Är det inte bättre att börja med t.ex.:

y_p = xCsin2x?

Edit: Fan det fungerade inte heller...

x^2Csin2x?

Här får du lite problem eftersom att den homogena lösningen innehåller sin(2x). y_h = Asin(2x) + Bcos(2x).

Notera dock att sin(2x) = Im(e^(i2x)), Imaginärdelen av e^(i2x).

Studera nu hjälpekvationen:

u'' + 4u = e^(i2x). Hittar vi lösningen till u så gäller att y_p = Im(u).
Denna löses lämpligt genom att ansätta u=z(x)*e^(i2x)

Kolla inte i spoilern om du vill försöka själv.


Edit: finns ett rätt så smidigt sätt att derivera funktioner som
f(x) = g(x)*e^(ax). Genom att låta D vara deriveringsoperatorn så gäller:

D^n(g(x)*e^(ax)) = e^(ax)*(D+a)^n(g(x))

Alltså n:te derivatan av g(x)*e^(ax).
T.ex

D^2(g(x)*e^(3x)) = e^(3x)*(D+3)^2(g(x)) =
= e^(3x)*(D^2 + 6D + 9)(g(x)) =
= e^(3x)*(D^2(g(x)) + 6D(g(x)) + 9g(x)) =
= e^(3x)*(g''(x) + 6g'(x) + 9g(x))

Fan, krångligt skit alltså... Tack för hjälpen!

Najs, löste den...