Residyberäkning

Ska beräkna Res sin(z/(z-1)) för z = 1. Försöker med vanlig Laurantutveckling (sinw = w - w^3/3! + ...) men får det inte att stämma ens i närheten. Tips?

Det kanske går bättre om du utvecklar kring z = 1 i stället för kring z = 0.

Jag satte w = z - 1.

Vi får alltså Res sin(z/(z-1)) [för z = 1] = Res sin((w+1)/w) [för z = 0].

sin((w+1)/w) = (w+1)/w - (w+1)³/6w³ + ...

Vad gör jag nu?

sin((w+1)/w) = ∑ (-1)^n 1/(2n+1)! (w+1)^(2n+1)/w^(2n+1)

Vi skall ha w^(-1)-termen av serien.

Nu gäller
(w+1)^(2n+1) = ∑ C(2n+1, k) w^k 1^(2n+1-k) = ∑ C(2n+1, k) w^k,
vilket medför att
(w+1)^(2n+1)/w^(2n+1) = ∑ C(2n+1, k) w^(k-2n-1).

Alltså erhålles w^(-1)-termerna då k-2n-1 = -1, dvs då k = 2n.
w^(-1)-projektionen av (w+1)^(2n+1)/w^(2n+1) blir därmed
C(2n+1, 2n) w^(-1) = (2n+1) w^(-1).

w^(-1)-projektionen av sin((w+1)/w) blir därför
∑ (-1)^n 1/(2n+1)! (2n+1) w^(-1) = ∑ (-1)^n 1/(2n)! w^(-1)
= cos(1) w^(-1).

Härifrån borde du kunna utläsa residyn.

(Hoppas att jag har tänkt och gjort rätt...)

Res sin(z/(z-1)) för z = 1.


Vi har sin(z/(z-1)) = sin(1 +1/(z-1)) = sin(1)*cos(1/(z-1)) + cos(1)*sin(1/(1-z))

Laurent series för cos(1/(z-1)) innehåller bara jämn potenser.

Så Res cos(1/(z-1)) = 0 vid z= 1

Laurent för sin(1/(z-1))
sin(1/(1-z)) = 1/(1-z) -1/(3!(1-z)^3 +...

Så Res sin(z/(z-1)) = cos(1) vid z=1

Bra att bekräfta resultatet med flera metoder.

Ja du var lite snabbare än mig Men det är ju bra som sagt att man får samma svar med olika metoder.

Tack båda! Återkommer säkert med fler frågor strax.

Å andra sidan var din metod enklare. (Fast jag hade tankar åt det hållet också.)

Kan ju bidra med ännu ett sätt. Utveckla kring 0an med w=z-1.

sin((w+1)/w)=sin(1+1/w)=cos(1)sin(1/w) + sin(1)cos(1/w) =
Med standardutveckligar för sin och cos:
= cos(1)*(1/w - ((1/w)^3)/3! + ..) + sin(1)*(1 - (1/w^2)/2! + ...)
Koeff. framför 1/w = cos(1).

Var ju iofs samma som GastonJ, fast med variabelbytet.