Linjär Algebra-problem, vridning i rummet.

Sitter och tentapluggar nu så här i (snart)juletider och har kört fast på den här uppgiften:

Låt A vara matrisen för en vridning i rummet. Vektorn (1 2 2)t är ortogonal mot vridningsaxeln och avbildas på (2 1 -2)t. Bestäm matrisen A.


Tack på förhand!

Jag antar att det handlar om standardbasen här.

Om vektorn u = (1, 2, 2) är ortogonal mot vridningsaxeln är rimligtvis även dess bildvektor, v, det. Innan vi kan ta fram denna ortogonala normalvektor undersöker vi först vinkeln mellan dessa två vektorer.

u • v = |u||v|cosθ

(1, 2, 2) • (2 ,1 -2) = 3*3*cosθ

cosθ = 0, θ = pi/2

Kryssar vi dessa två vektorer får vi vridningsaxeln.

u x v = (2, -2, 1)

Skapa en ny ON-bas av dessa vektorer.

f1 = 1/3 (2, -2, 1)
f2 = 1/3 (1, 2, 2)
f3 = 1/3 (2, 1, -2)

Vi kan du bestämma avbildningsmatrisen i den nya basen f. Vridningen är antingen pi/2 eller - pi/2.

(1 0 0)
(0 cosθ -sinθ)
(0 sinθ cosθ)

=

(1 0 0)
(0 0 ±1
(0 ±1 0)

Undersök om vridningen är -pi/2 eller +pi/2 genom att sätta in en av vektorerna och se om du får rätt bild.

För att sedan bestämma matrisen i standardbasen:

Ae = TAfT^-1

Där T är bassambandet, f = eT. Blir lätt att hitta matrisen här eftersom f utgör en ortonormerad ON-bas, och sedermera är T^-1 = T^T.