Vågekvationen.

Postade i Mattesupporten 24h, men insåg att det skulle bli jobbigt att försöka sortera ut svaren.

Jag sitter fast med ett problem. Får inte ut en vettig lösning samt att jag har tolkningsproblem.

http://img.skitch.com/20091208-4r7f7...p2a8q4ah6k.pdf

Skulle behöva en rätt utförlig förklaring för denna uppgift.

Kan du förklara notationen som används för u(x,0)? En fyrkantsvåg med höjden 1/8 och "kanter" i 1/2 och 3/2?

Jag antar att du menar fyrkantsvågen jag nämnde. Använd produktmetoden, u = ∑Xn(x)*Tn(t). Varje un=XnTn är en lösning och ekvationen kan skrivas

X''/X = T''/T = -k²

där vi alltså noterar att om både leden är lika måste de vara lika med en konstant och genom att se in i framtiden sätter vi denna konstant till -k² eftersom vi då får de oscillerande lösningar vi vill ha med ett reellt k. Man får då två ekvationer

Xn'' + k²Xn = 0
Tn'' + k²Tn = 0

med välkända lösningar

Xn = Ansin(knx) + Bncos(knx)
Tn = Cnsin(knt) + Dncos(knt).

Randvillkoren ger (måste vara sanna för varje XnTn pga ortogonalitet)

un(0,t) = TnBn = 0 ⇒ Bn = 0
un(2,t) = TnAnsin(2kn) = 0 ⇒ kn = nπ/2

Det andra begynnelsevillkoret ger

∂un(x,0)/∂t = XnCnkn = 0 ⇒ Cn = 0.

Alltså är lösningen

u(x,t) = ∑Ansin(knx)Dncos(knt) = {kan sätta An = 1} = ∑Dnsin(knx)cos(knt)

Summeringen går från 1 till ∞. Negativa n kan tas med men det gör ingen skillnad eftersom

Dnsin(knx)cos(knt) + D[-n]sin(-knx)cos(-knt) = (Dn-D[-n])sin(knx)cos(knt) = Dn'sin(knx)cos(knt).

Nu använder vi ortogonalitet för att hitta Dn. Vi har

u(x,0) = ∑Dnsin(knx)

och integrerar man på båda sidor med ∫sin(kmx)dx där integralen går från 0 till 2 så fås för högerledet

∫sin(kmx)dx∑Dnsin(knx) = ∑∫sin(kmx)Dnsin(knx)dx = {nollskilt då m = n} = Dm

och för vänsterledet bidrar u(x,0) med 1/8 i intervallet 1/2 till 3/2 och 0 annars så man får

∫(1/8)sin(kmx)dx = (cos(mπ/4) - cos(3mπ/4))/(4mπ) = Dm.

Lösningen är alltså

u(x,t) = ∑(cos(nπ/4) - cos(3nπ/4))/(4nπ)*sin(knx)cos(knt).

Vad händer då n = 2p, alltså ett jämnt tal. Notera att cos(3v) = 4cos³(v) - 3cos(v) så att

cos(nπ/4) - cos(3nπ/4) = 4cos(nπ/4) - 4cos³(nπ/4) = 4cos(pπ/2)(1-cos²(pπ/2)) = {trigettan} = 4cos(pπ/2)sin²(pπ/2)
= {2sin(v)cos(v)=sin(2v)} = 2sin(pπ/2)sin(pπ) = 0

ty sin(pπ) = 0 då p är ett heltal. Alltså försvinner alla multipler av andra tonen.

Använder vi dessa identiteter kan lösningen alltså skrivas

∑[sin(kn/2)sin(kn)/(4kn)]sin(knx)cos(knt) med kn = nπ/2.

Så här ser det ut för mig med 1000 termer i summan.

http://www.youtube.com/watch?v=Dt3_NLXMhek

Evolute: som vanligt lysande! Stort tack!