Hur stor yta nuddar en sfär om står på en plan yta.

Det var ju just den där jag beskrev..

Ytan som nuddar.




Men vad är det du inte fattar? Oändligt liten är inte lika med noll. Det finns en principiell skillnad.

En cirkel kan inte per definition vara oändligt stor då det inte hade varit en cirkel längre då.


Hitta på något bättre att säga.

Det han inte förmodligen inte fattar är hur du ska kunna definiera gränsvärden, derivering och integraler(analys överhuvudtaget) så att de går att räkna med och ge användbara resultat om lim 1/x ≠ 0, när x →∞.

Men nog om det. Detta tas lämpligen i "0,999=1"-tråden.

Ytan blir en punkt för en ändlig radie, det är uppenbart. Men hur ter sig ett klot vars radie går mot oändligheten? Definitionen av cirkeln vars radie går mot oändligheten är en linje (detta har man bestämt), varför skulle då inte klotformen definieras som ett plan, då dess radie går mot oändligheten?

Och ditt exempel med 9.999... tyder också på viss okunskap. Denna typ av decimalutveckling som består av en oändlig serie nior har nämligen förbjudits. 9.999...={definitionsmässigt}=10, och detta är ingenting som hurtfriska flashbackare har något att säga till om egentligen – det är nämligen den matematiska världseliten som kommit överens om, och beslutat, att så ska det vara. Det du måste förstå är att matematikens logik BYGGER PÅ de axiom och definitioner som utgör dess grund. Dessa är fastställda på ett naturligt sätt av personer som, i sin intellekt, befinner sig på en annan planet än oss dödliga (och tur är väl det).

I vårt fall med klotet med en radie som går mot oändligheten uppstår problemet (och följande diskussion) pga att vi inte definierat hur ytan på ett klot, med en radie som går mot oändligheten, ser ut! MEN, man har BESTÄMT att en cirkel vars radie i likhet går mot oändligheten, ska likställas med en linje, så varför skulle vi då inte i vår amatörmässiga diskussion analogt kunna definiera klotets yta som ett plan om dess radie går mot oändligheten?

Sen att du mot slutet skriver "Teoretiskt sätt är till och med steget till heltalet oändligt stort..." tyder på VÄLDIGT STOR OKUNSKAP, och detta inser nog alla som läst matematik på högre nivå än gymnasiet.

Okej. Jag är inte insatt i sån där komplex geometri. Jag läser bara inlägg och använder min logik.

Varför definieras en cirkel som går mot oändligheten som en linje då? Ska man resonera så så kan ju vad som helst vara vad som helst, nästan.

Ja, att definitionen säger så är en sak. Men oavsett om skillnaden är oändligt liten, måste du väl hålla med om att det finns en skillnad, och då kan det inte vara samma sak? Anledningen att jag sade att skillnaden lika gärna kunde vara oändligt stor är att det hela är odefinierbart. Allt hänger på perspektiv.

Kalla det gärna okunskap.

Men som jag skrev. Kan du ge en logisk förklaring på, och ja, då baserad på ren logik - inte bestämmelser, hur en oändligt stor cirkel kan definieras som en linje, då det i teorin skulle innebära att cirkeln i så fall inte skulle kunna ha formen av en cirkel. Kan man då kalla det för en cirkel? En perfekt cirkel måste ju ha oändligt fin rundning och så sett bör kontaktytan vara oändligt liten oavsett radien på cirkeln. Ingen del av en cirkel är ju helt rak.

Nu är det kanske som du säger så att jag missar en faktor i resonemanget eftersom jag inte är beläst för fem öre. Det innebär inte att jag tänker hålla mig borta från diskuterandet då det är orsaken till att jag hänger på flashback.

EDIT: Jag har bara läst Ma B.

Förstår vad du menar. Ja, du har helt rätt i att där finns en skillnad, men problemet ligger i oändligheten som företeelse (nu menar jag inte nödvändigtvis oändligt stort utan all form av oändlighet: oändligt litet, oändligt stort, oändligt nära något etc). Det är egentligen ett ohyggligt abstrakt begrepp som, vad vi vet hittills, saknar motsvarighet i praktiken (läs och begrunda ). Pga av detta tvingas vi införa rationella ("praktiska") förenklingar när vi vill komma till konkreta lösningar i problem.

Att påstå att 0.999... {oändligt med nior} verkligen är samma sak som 1 är naturligtvis fel. Precis som du säger, finns där en (oändligt) subtil skillnad, men vad är egentligen en oändligt liten skillnad? Hur ska vi uppfatta den? Ett sådant problem stöter vi på i exemplet med cirkeln vars radie är oändlig. Först och främst måste jag påminna om att definitionen av en cirkel (dvs vad en cirkel egentligen är för något) är inte bara att "den är rund"...

En cirkel egentligen den mängd av punkter som har samma avstånd till en referenspunkt (cirkelns mittpunkt). Om detta avstånd är ändligt får detta till följd av att cirkeln är uppenbart rund, men vad har cirkeln egentligen för rundning om detta avstånd är oändligt??? Vad är egentligen en rundning som är oändligt nära rak, men inte helt rak? Pga att man egentligen inte kan räkna med en oändlig "rakhet" (som är otroligt abstrakt) när man ska lösa ett konkret problem, väljer man ganska naturligt att uppfatta cirkeln som rak, dvs en linje. Snarare än att cirkeln verkligen ÄR en linje, säger man att man likställer cirkeln med en linje (härur kommer definitionen av en cirkel med en oändlig radie). Men att likställa är ju i princip samma sak som att påstå att den ÄR en linje... Knäppt va!? Därför har man valt att just definiera en cirkel med en oändlig radie, som en linje. Egentligen är denna definition mycket naturlig, eftersom en linje faktiskt också i viss bemärkelse är oerhört abstrakt! En av linjens egenskaper är ju att den inte har någon startpunkt eller slutpunkt – den är oändlig (en linje med startpunkt och slutpunkt kallar vi sträcka och en linje med endast startpunkt en stråle). En cirkel med ändlig radie är faktiskt det enda någorlunda konkreta i vår diskussion.

Det visar sig sedan att med denna definition av cirkeln med oändlig radie som en linje, får alla problem som involverar en abstraktion av detta slag en konkret lösning (mycket viktigt, är ju själva anledningen till att man infört just denna definition). Jag avrundar med ett exempel som jag stötte på igår när jag pluggade inför en annalkande tenta

Uppgiften var att bestämma det magnetiska fältet i en oändligt lång järnstav som man hade virat en ändlig strömförande kabel runt. Det att järnstaven enligt uppgiftens förutsättningar var oändlig gör det hela lite abstrakt, men om man likställde denna järnstav med en cirkel med oändlig radie kunde problemet lösas och få ett konkret svar (som dessutom var rätt!). Man kan fråga sig om denna lösning verkligen var rätt då vi utgått ifrån definitionen av en cirkel med oändlig radie som en linje... Grejen var att uppgiften kunde lösas på två sätt, varav det andra inte krävde att vi tillämpade denna definition, utan istället förutsatte att det magnetiska fältet endast existerade inuti järnstaven (detta vet man stämmer med verkligheten).

Hoppas jag belyst detta problem med oändligheten en aning

Nej det är faktiskt helt rätt. Det finns ingen skillnad, varken stor eller liten. 0,999... och 1 är samma tal.

Nej, jag kan inte komma på nåt mer lämpligt att säga. Är du inte ute på trolltåg kan du ju istället tolka det som en uppmaning att läsa tråden ifråga, och sätta dig in i frågan.

/Hast

Njaa.. det är väl snarare så att man likställer 0.999... med 1 när man räknar på det, men detta behöver ju inte innebära att det är samma tal. Nu vet ju inte jag om du är matematiker eller nåt och jag tar vatten över huvet när jag vill påstå att du har fel, men riktigt samma tal är det väl inte riktigt?

Det är två olika representationer av samma tal.

Definition av decimaltal, från Principles of mathematical analysis av Rudin.

Låt x > 0 vara reellt. Låt n[0] vara det största heltal sådant att n[0] ≤ x. Efter att ha valt n[0], n[1], n[2], ..., n[k-1], låt n[k] vara det största heltal sådant att

n[0] + n[1]/10 + ... + n[k]/10^k ≤ x.

Låt E vara mängden av dessa tal

n[0] + n[1]/10 + ... + n[k]/10^k (k = 0, 1, 2, ...).

Då är x = sup E och decimalutvecklingen av x är

n[0].n[1]n[2]n[3]...

Omvänt, för varje oändlig decimalutveckling av typen ovan så är mängden E begränsad uppåt och decimalutvecklingen är den för sup E.

Hans definition av decimaler är alltså inte entydig eftersom han påpekar i sin sista mening att 0.999... är decimala expansionen av sup E där E är mängden av tal på formen 0 + 9/10 + 9/10² + ... + 9/10^k, vilket är 1. Alltså är 0.999... = 1.

Om man accepterar att 0.999... är ett reellt tal så är det 1. Alternativet är att inte acceptera 0.999... överhuvudtaget. Slutsatsen blir alltså att inte alla decimaltal är giltiga reella tal vilket är onödigt (anser jag).

Du har fel, detta är inte platsen att "diskutera" om hur 0.99... är 1. Det finns en monstertråd för detta någon stanns i det gömda fb.

Jag ger mig

Tar tillbaka allt jag sagt hittills om 0.999... Det är uppenbart så att denna matematik ligger utanför det jag och diversion sysslat med, och det finns egentligen inget annat att göra än att falla ned på knä för dem som verkligen kan

Men om jag förstått definitionen rätt så definierar man alltså det tal med oändlig decimalutveckling av typen ovan som den decimala representationen av supremum av mängden E? Den definition du hänvisat till är väl ungefär ett väldigt stringent sätt att säga att 0.999... är talet 1 på decimalform, eller?