Förvirring kring vektorprodukt och cylinderkoordinater. Snälla se hit!

I morse när jag precis satt mig ner med block och penna för att angripa problem inför en annalkande tentaperiod fick jag, pga ett resonemang i läroboken, en fundering – en sån dära fundering som till slut får en att bli helt Detta är mer en "paradoxal" fundering än en uppgift varför jag valde att posta här. Att följa detta kräver "vektor-vana". Det är även rekommendabelt att ni ritar upp bilden vartefter i ett 3-axlat koordinatsystem. Tveka inte att bombardera mig med frågor angående resonemanget nedan om ni inte hänger med...

Nu ska jag försöka kort beskriva bakgrunden. Det handlar om att utreda riktningen av ett bidrag dB (en vektor) till ett magnetiskt fält runt en långsmal strömbana (belägen utmed z-axeln), i en punkt med ortsvektorn r, från en punkt på ledaren med ortvektorn u. Hängde ni med? dB från en punkt u, i en punkt r (riktingen av u sammanfaller så klart med z-axeln eftersom den punkten från vilken bidraget dB kommer ifrån ligger på z-axeln). Vi behöver inte gå in på mer magnetiska detaljer då det är matematiken som är väsentlig.

Det är alltså bara riktningen av dB vi intresserar oss för. För att förenkla nämner jag bara att man vet att riktningen av dB är densamma som för vektorprodukten dl x (r-u), där dl är strömmens riktning (som är utmed positiva z-axeln eftersom strömmen flyter i en strömbana som ligger utmed z-axeln), r är ortsvektorn för den punkt i vilken vi vill beräkna dB (nånstans runt omkring z-axeln) och u som sagt är en ortsvektor för en punkt på strömbanan (på z-axeln). Bidraget dB "kommer från" punkten med ortsvektorn u och "verkar i" r.

Nu är det så att omständigheterna gör det väldigt naturligt att jobba i CYLINDERKOORDINATER eftersom beskrivningen av vektorerna blir väldigt enkel då. Vi väljer att kalla enhetsvektorerna för cylinderkoordinater R (radien), FI (vinkeln) och Z (höjden). Låt oss också säga att den här punkten u, som ligger på z-axeln, ligger där z=w samt punkten r (som befinner sig någonstans bortom z-axeln) har z-värdet z=t och radien=m. Enligt läroboken får vi dl=q*Z och (r-u)=m*R+(t-w)*Z.

Med dessa definitioner av dl samt (r-u) finner man att vektorprodukten dl x (r-u) enbart får FI-komponent, dvs dess riktning är samma som enhetsvektorn FI. So far so good, detta stämmer dessutom fysikaliskt med det magnetiska fältet (vilket lärobokens syfte var att visa). Men nu kommer vi till det jag tycker är MYCKET KONSTIGT.

Om vi vet att strömmen flyter längs utmed z-axeln och ska beskriva riktningen dl för strömmen, definieras då inte denna riktning i cylinderkoordinater endast av att R-komponenten är noll? I så fall kan man ju sätta dl=q*Z+p*FI. Man inser ju att om en ström flyter längs med z-axeln är dess FI-komponent totalt oviktig eftersom vektorn inte har någon radie, dvs FI-komponenten borde kunna väljas HELT GODTYCKLIGT. På samma sätt kan man väl anta att för den punkten u som bidraget dB utgår ifrån även den har en HELT GODTYCKLIG FI-komponent – dess R-komponent är ju också noll! För vår godtyckliga punkt i rummet r gäller att FI-komponenten har betydelse för var bidraget dB verkar. Dessa resonemang ger oss att

dl=q*Z+k*FI
u=w*Z+s*FI
r=t*Z+v*FI+m*R

Fortfarande måste det gälla att riktningen av dB endast har FI-komponent, dvs vektorprodukten dl x (r-u) ska ENDAST HA FI-komponent! Detta fattar man enkelt om man ritar upp det hela ett koordinatsystem, men hur kommer man fram till det? Varför har boken valt att fullständigt bortse från dessa godtyckliga värden på FI-komponenterna av vektorerna som ligger utmed z-axeln???

Den viktigaste frågan är VARFÖR HAR BOKEN VALT ATT FULLSTÄNDIGT BORTSE FRÅN FI-KOMPONENTERNA HOS VEKTORERNA MED RIKTNINGEN UTMED Z-AXELN, dvs hur och varför kan man göra det, varför gör författaren det?

Nej, dl kan inte ha en komponent i någon annan riktning än z. Fysikaliskt skulle det ju innebära att en del av strömmen flödar *ut ur* ledaren.

Sen är det iofs så att cylindriska koordinater inte är väldefinierade när R=0. Så egentligen kan punkter med R=0 inte beskrivas i cylindriska koordinater, utan man får använda något annat koordinatsystem, t.ex. cartesiska koordinater. I ett cartesiskt system är det klart att dl bara har en komponent längs z-riktningen.

Okej, men hur kan då författaren tillåta sig beskriva strömmen utmed z-axeln i cylindriska koordinater?

Sen förstår jag inte riktigt vad du menar med att det fysikaliskt skulle innebära att strömmen flödar ut ur ledaren. Eftersom fi-komponenten inte är riktad utåt utan är ett slags rotation är det väl inget som säger att ström skulle flöda ut, eller (fi-komponent är ju inte likt y eller x-komponent)?

Men det finns EN tankegång som gör det hela rimligt. Om man nämligen utgår helt ifrån r-u, dvs skillnaden av de två ortsvektorerna för respektive punkt (den på z-axeln och den ute i rummet). Då inser man lätt att denna vektordifferens inte kan ha någon fi-komponent eftersom det då skulle innebära att denna vektor ROTERADE!!!

Anledningen till varför jag blev så bestört var att jag ville veta varför mitt resonemang då jag först försökte bestämma de båda ortsvektorerna var för sig, och utifrån dessa komma fram till skillnaden, u-r. Jag tyckte att detta logiskt sätt borde funka och hetsade upp mig när det blev strul hela tiden. Nu inser jag emellertid mer och mer att detta strul kan ha sin grund i just det du nämnde på slutet –*att vektorer utmed z-axeln inte är entydigt bestämda, och att detta gav upphov till de obehagligheter som följde.

Det behöver inte vara så att den är beskriven i cylindriska koordinater. Du kan lika gärna tänka dig att dl är given i ett cartesiskt koordinatsystem där z-axeln i det systemet sammanfaller med z-axeln i det cylindriska systemet.
Jo. dl kan bara ha en enda komponent, längs med ledaren. Om den har en komponent i någon annan riktning innebär det att ström flödar ut ur ledaren.
Jag förstår inte vad du menar här. Alla vektorerna i problemet är tidsoberoende.
Vektorerna i sig är entydigt bestämda. Däremot är inte deras komponenter i ett cylindriskt koordinatsystem väldefinierade.

Aha, då förstår jag! Fast detta framgår isf inte då det står skrivet "...ty i cylinderkoordinater är dl=dz*Z och (r-u)=m*R+(t-w)*Z" (Z och R beteckna enhetsvektorerna i cylinderkoordinater).


Förvisso, fast om nu dl endast har Z-komponent så är koordinaterna för dess R och FI-komponent bägge noll. Att R-koordinaten är noll är självklart men vad betingar oss att sätta FI-koordinaten till JUST noll??? (föreställ dig den geometriska bilden i cylinderkoordinater)


Det jag menar är att eftersom (r-u) är en vektor som sträcker sig från en punkt på z-axeln RAKT UT till en punkt i rummet så kan denna vektor, i cylinderkoordinater, endast ha en R och en Z-komponent (föreställ dig fallet geometriskt...).


Det är detta jag inte förstår hur dom kan vara... Vad är det t ex som säger oss att FI-komponenten av dl ska vara just noll. Även om FI-koordinaten är skild från noll innebär det inte något "flöde" av ström ut ur ledaren eftersom FI-enhetsvektorn inte sträcker sig UT FRÅN ledaren. Den geometriska tolkningen bestämmer inte FI-komponenten entydigt. Med andra ord, ingenting tyder på att FI-komponenten skulle vara just noll, eller?

För dl är det, i strikt mening, fel. Även om det i det här fallet är ganska klart vad som menas.


Det cylindriska koordinatsystemet är inte väldefinierat då R=0, så det är meningslöst att tala om en fi-komponent. Däremot är vektorn dl i sig helt väldefinierad. Och den kan bara ha en komponent längs z.



Nja, fi-komponenten kan ju i princip ha vilket värde som helst. Men problemet är rotationssymmetriskt, så det är ju bekvämt att sätta den komponenten till 0.

Jag har nu kommit på kruxet! Vi är helt säkra på att dl i kartesiska koordinater endast ha Z-komponent, right. När man sen ska uttrycka dl i cylinderkoordinater måste övergången ske genom att man helt enkelt byter ut respektive kartesisk koordinat mot deras respektive definitioner i cylinderkoordinaterna, dvs R, FI, och Z. Men eftersom nu den "kartesiska" Z-enhetsvektorn avbildas exakt på den cylindriska Z-enhetsvektorn, får alltså bara dl en Z-komponent.

Grundproblematiken uppstod när jag envist trodde att när man generellt "skickar över" vektorer i det kartesiska rummet (kartesiska koordinatsystemet) till cylinderrummet så kommer alla dessa vektorer i cylinderrummet få en Z, en FI och en R-komponent, och att man då måste bestämma dessa tre komponenters respektive koordinat. Det är då vi inte finner någon naturlig definition för FI-koordinaten för de vektorer som i det kartesiska rummet ligger utmed Z-axeln. Hänger du med eller?


Jo faktiskt, då R=0 (som är det på x,y-planet projicerade avståndet till origo) har vektorn i kartesiska koordinatsystemet endast Z-komponent --> den har endast Z-komponent även i det cylindriska koordinatsystemet eftersom enhetsvektorn Z övergår precis i samma vektor vid övergång mellan de bägge koordinatsystemen.


Det är det den INTE kan. Hur kan jag veta det? Jo, eftersom orienteringen av (r-u) de facto gör den till en ortsvektor, kommer den inte ha en FI-komponent alls, eftersom ortsvektorn i cylinderkoordinater endast uttrycks med R och Z-komponent!

Definitionerna av ortsvektorn samt R, FI och Z-enhetsvektornerna härrör ju från hur man definierar enhetsvektorer i ett godtyckligt kurvlinjärt koordinatsystem, utifrån hur detta kurvlinjära koordinatsystems koordinater bestäms av de kartesiska koordinaterna X, Y och Z.

Av ren nyfikenhet, vilken kunskapsnivå i matematik ligger du på? Pluggar du (och i så fall vad) eller har du pluggat?

Du verkar ha löst det men rent allmänt så kan du konstatera att enhetsvektorerna för φ och r är vinkelräta mot enhetsvektorn för z. Om strömmen flyter längs z måste alltså koordinaterna för r och φ vara 0 (annars är flödet inte parallellt med z).

Vet inte riktigt vad du menar med "komponenternas koordinat". Sättet jag skulle uttrycka det på är att cylindriska koordinater inte är ett globalt koordinatsystem för R^3, utan bara för R^3 - {z=0}.


Visst kan den det. Det du skrev ovan är bara ett annat sätt att uttrycka att du väljer koordinatsystemet sådant att planet givet av fi=0 sammanfaller med planet som r-u och dl ligger i. Det är bekvämt att göra det, men det är inget du *måste* göra.



Har doktorerat.

Jag hajjar detta, det som gör mig förvirrad är detta: säg att strömmen flyter i rummet med I=(a,b,c) i cylinderkoordinater. Om då a,b och c är alla skilda från noll kommer strömmen att flyta dels utåt (pga r-komponenten a), dels uppåt (pga c), dels runt z-axeln (pga vridningskomponenten b). Om vi vill att strömmen ska flyta närmare z-axeln minskar vi bara dess r-komponent, dvs a, eftersom denna motsvarar avståndet (i x,y-planet) till z-axeln. Minskar vi den mer och mer tills a slutligen blir noll kommer den ju hamna i z-axeln, eller? Men då har vi inte behövt minska b nånting???


Du får ursäkta mitt otydliga ordval... Med "komponenternas koordinat" menar jag till exempel x i den kartesiska vektorn (x,y,z). Varför är inte cylindriska koordinater väldefinierade för z=0, är det just pga att man kan välja vilket värde som helst för fi-komponenten?


Tror jag hänger med. I mitt formelblad står det att ortsvektorn i cylinderkoordinater endast har en R och Z-komponent, hur ska jag tolka det? Ortsvektorn i sfäriska koordinater uttrycks bara med dess R-komponent (fast då är ju R avståndet till origo, snarare än till Z-axeln). Tycker det är förvirrande, antagligen för att jag är ovan vid koordinatbyten och helt fast i det "kartesiska tänkandet"...


Ojoj, ja, du märker att jag inte riktigt befinner mig där. Håller själv just på att läsa en kurs i grundläggande vektoranalys, tenta nästa vecka

Koordinaterna är (r, φ, z) = (0, φ, z) men den fysikaliskt meningsfulla vektorn som beskriver strömmens riktning (utan normalisering) är I = (x,y,z) = (rcos φ, rsin φ, z) = (0,0,z). Notera att (r,φ,z) inte är en fysikaliskt meningsfull vektor - det är "bara" koordinater. Den består av en dimensionslös storhet och två med dimensionen längd.

Jag tror att det som skapar förvirring är att folk blandar ihop koordinaterna av en punkt med komponenterna av en vektor. I kartesiska koordinater så blir har ortsvektorn av en punkt samma komponenter som punktens koordinater, så man behöver inte bry sig så mycket om distinktionen. Men i cylindriska (eller vilka som helst inte helt kartesiska) koordinater, så blir det en skillnad, som lätt gör att man blir förvirrad.

För att beskriva en punkts läge i cylinderkoordinater skriver man bara ner (r, φ, z). Tror du förstår hur det där funkar, så ska inte gå in på det mer.

Om du istället vill beskriva en vektors riktning i cylinderkoordinater, så blir det lite knepigare. Det som visar sig praktiskt är då att man använder en uppsättning basvektorer som man kallar för e_r, e_φ, e_z, och beskriver vektorerna som en linjärkombination av dessa. (Ibland ser man också beteckningarna r, φ, z med circumflexer ovanpå för samma basvektorer.) Vektorerna definieras av e_u är en enhetsvektor riktad åt det håll dit koordinaten u ökar mest lokalt, det vill säga e_r är riktad ut från mitten i x-y-planet, e_φ är riktad motsols i x-y-planet, och e_z är riktad uppåt. Notera att dessa tre vektorer bildar en ON-bas.

Det viktiga att notera är att vilken riktning dom här basvektorerna tar beror på var i koordinatsystemet man är. e_r pekar tex åt höger om man befinner sig på den positiva x-axeln, men åt vänster om man befinner sig på den negativa x-axeln. Så egentligen borde man skriver e_r(r, φ, z), och så vidare. Det som ändå gör det här väldigt praktiskt är att i de flesta applikationer råder det inget tvivel om var man så att säga befinner sig, eller snarare, allt man vill beskriva är vektorfält som redan varierar beroende på var i rummet man är, så det gör det inte nödvändigtvis mer förvirrande att även basvektorerna man använder varierar i rummet.

Till exempel, om någon skriver att magnetfältet i rummet är

B = e_φ

så menar man att

B(r, φ, z) = e_φ(r, φ, z)

(fast ingen skriver så, förstås).

Detta betyder förstås absolut inte att magnetfältet är konstant, utan man måste tänka på att även basvektorn e_φ varierar i rummet.


Säg nu att man vill beskriva ortsvektorn OP till en punkt P, som man kan beskriva med koordinaterna (r, φ, z). Då måste man först bestämma sig för vilken punkts ON-bas e_r, e_φ, e_z man vill använda. Nåt som ter sig ganska naturligt är att välja punkten P. Då kan man se (genom att rita diagrammet, eller byta till kartesiska koordinater) att ortsvektorn blir

OP = r e_r + z e_z

och inte r e_r + z e_z + φ e_φ, som man kanske skulle kunna tro. Det är det här jag menar när jag sa i början att man ska skilja på koordinater och komponenter till ortsvektorn.

Det som gör det ännu förvirrande är att man ibland ser folk använda notationen (a, b, c) för att beteckna vektorn a e_r + b e_φ + c e_z. Det här är som upplagt för att man ska förväxla det med koordinater, så jag skulle personligen rekommendera att du höll dig borta från sånt och skrev ut allt explicit i termer av basvektorerna.


--------------------

Nu kanske det inte är detta som förvirrar, men då hoppas jag ändå att nån har haft nytta av att läsa det här.