Detta med kvadratisk form...

Det sista nu i Linjär Algebra-kursen, och jag kan inte greppa en sak om kvadratiska former. Säg nu att vi har skrivit om detta:

Q(eX) = (x1)² + √3(x1)(x2) + 2(x2)² och i den ny basen f:

Q(fY) = (1/2)*(y1)² + 5/2(y2)² där f1 = e1/2*(√3, -1) och f2 = e1/2*(1, √3) där f utgör en ON-bas ur en egenbas av e.

Så långt så bra, men när detta problem kommer blir jag nästan ställd:

Bestäm minsta och största värdet av Q på enhetscirkeln. Jag är då med på att vi ska maximera Q(fY) = (1/2)*(y1)² + 5/2(y2)² vid (y1)² + (y2)² = 1. Men jag förstår verkligen inte sätten att lösa detta problem på som vi har blivit tilldelade. Kan någon förklara pedagogiskt hur man behandlar dessa problem?

Lääh..

Att du orkar en fredag vid 23:50

Sitter hemma med ont i armen och feber efter vaccin...inte mycket att göra här.

Har inget att tillföra, förutom att stötta dina studier - pluggar (eller pluggade fram till för en kvart sen) också! Känn dig inte ensam! Kör hårt.

Slå upp kapitlet om "optimering med bivillkor" eller något liknande.

Meningen med denna teori är nog att du med hjälp av diagonaliseringen av den kvadratiska formen Q skall kunna "se direkt" viken typ av yta Q är.
Men detta kräver kunskap i flerdim, så ni borde läst det innan ni får dessa problem.

Q(fY) = (1/2)*(y1)² + 5/2(y2)²

är en paraboloid med symmetriaxlar i y1 och y2 led.

Bivillkoret (y1)² + (y2)² = 1, eller |y|=1, säger att du skall traska ut en enhet från origo på ytan Q i valfri riktning.

Symmerin gör att du skall gå längs axlarna för att få max och min pga paraboloiders utseende.

Alltså gå till (1, 0) och (0, 1) vilket ger

max=5/2 och min =1/2.

Max och min finns alltid på axlarna pga symmetrin som diagonaliseringen ger.

Detta kunde ej ses från ursprungliga Q(eX) = (x1)² + √3(x1)(x2) + 2(x2)² , vilket skall vara poängen med uppgiften.

----------------------------------------------

Visst kan man lösa detta med endim optimering, men det är nog inte meningen....

Lös ut (y2)² ur

(y1)² + (y2)² = 1

och sätt in i

Q(fY) = (1/2)*(y1)² + 5/2(y2)² .

Detta ger;

finn max o min av

Q(fY) = (1/2)*(y1)² + 5/2(1-(y1)²)

[-1, 1].

Men detta lär dig inget om kvadratiska former.

Tack, börjar få lite mer kött på benen nu känner jag. Dock, det är väl en ellips det handlar om?

Nix, ingen ellips.

Detta är en paraboloid i R^3,

z=ax^2+by^2.

Sätter man z= k = konstant så projeceras den som en ellips ner på R^2,

k=ax^2+by^2.