integral... hjälp

beräkna för a > 0, h(a) = ∫(2a)/(t² - a²)dt med övre int.gräns inf. och nedre int.gräns 2a

jag kommer till [ln((t-a)/(t+a))] med övre int.gräns inf. och nedre int.gräns 2a

kan man sen tänka att det blir

ln3 + lim t->inf ln((t-a)/(t+a)) ? och hur gör man med gränsvärdet..

Hade varit trevligt om det blev 0 då svaret enligt facit är ln3..
hjälp uppskattas.

[quote=tubis]beräkna för a > 0, h(a) = ∫(2a)/(t² - a²)dt med övre int.gräns inf. och nedre int.gräns 2a

jag kommer till [ln((t-a)/(t+a))] med övre int.gräns inf. och nedre int.gräns 2a

kan man sen tänka att det blir

ln3 + lim t->inf ln((t-a)/(t+a)) ? och hur gör man med gränsvärdet..
QUOTE]

Ja, gränsvärdet är 0. Du tänker rätt. Om du tittar på (t - a)/(t + a) när t -> oo, så är detta uppenbart 1, om du ej ser det så dela täljare och nämnare med t ger oss:

(1 - a/t)/(1 + a/t), och när t -> 0 så a/t -> 0 så det blir (1 - 0)/(1 + 0) = 1, tar vi sedan ln av det blir det ln 1 = 0. Komplett lösning kan man ge som:

h(a) = § (2a)/(t^2 - a^2) dt, med gränser från 2a till oo.
h(a) = 2a § 1/(t^2 - a^2) dt

Men 1/(t^2 - a^2) = A/(t + a) + B/(t - a) för något A,B. ger oss:

1 = A*(t - a) + B*(t + a)
=> A + B = 0
=> a*(B - A) = 1

Den första ger aA + aB = 0 så subtraktion ger:

a*(B - A) - aA - aB = 1
aB - aA - aA - aB = 1
-2aA = 1
A = -1/(2a) ger oss B = 1/(2a) så:

1/(t^2 - a^2) = (1/2a)*(1/(t - a) - 1/(t + a))

Vi vi har:

h(a) = 2a § (1/2a)*(1/(t - a) - 1/(t + a)) dt
h(a) = § 1/(t - a) - 1/(t + a) dt

Så h(a) = [ln|t - a| - ln|t + a|] som ges av

h(a) = [ln|(t - a)/(t + a)|], sätter vi in övre gränsen får vi:

lim t -> oo ln|(t - a)/(t + a)| som ger bidraget 0 ty det blir 1/1 till slut och ln 1 = 0, så:

h(a) = -1*ln|(t - a)/(t + a)| där t = 2a, då ger dett:
h(a) = -1*ln|(2a - a)/(2a + a)| = -1 * ln(1/3) = ln(3)

Ja, för (t-a)/(t+a) går mot ett när t blir stort och a blir obetydligt litet och ln(1)=0.

tackar för hjälpen... smart att räkna ut "inre gränsvärdet" först..

kan man tänka sig att skriva ln(lim t-> inf (t-a)/(t+a)) istället?

Man kan stoppa in och ut gränsvärden ur funktioner lite hur man vill så länge man inte "hoppar över" något där variabeln som går mot något finns med.

Exempel:
lim t→∞ ln((t-a)/(t+a))=ln(lim t→∞ (t-a)/(t+a))=ln(lim t→∞ ((t-a)/t)/((t+a)/t))ln((lim t→∞ (t-a)/t)/(lim t→∞ (t+a)/t))

(Var tvungen att förlänga med 1/t i täljare och nämnare i sista biten för att få begränsade gränsvärden, så att exemplet håller. Man kan ju inte beräkna ∞/∞.)